内容发布更新时间 : 2024/9/29 12:18:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。
解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.
y2x2
所以椭圆的标准方程是4＋3＝1.
2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝5－1＝24.∴椭圆的标准方程为＋＝1.
2524
二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
0?，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例：2. 椭圆的一个顶点为A?2，分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
2
x2y2
x2y2?1； 0?为长轴端点时，a?2，b?1，椭圆的标准方程为：?解：（1）当A?2，41x2y2?1； 0?为短轴端点时，b?2，a?4，椭圆的标准方程为：? （2）当A?2，416三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。
x2y2
例3．求过点(－3,2)且与椭圆9＋4＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
x2y294
解：因为c＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为2＋2＝1.由点(－3,2)在椭圆上知2＋2＝1，
aa－5aa－5
x2y22
所以a＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
2
1510
四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。
例4： 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x?y?1?0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
x2解：由题意，设椭圆方程为2?y2?1，
a?x?y?1?0x1?x21?a21?2222??1?ax?2ax?0x??y?1?x?由?x，得，∴，， MMM2222a1?a?2?y?1?ayMx2112?kOM??2?，∴a?4，∴?y2?1为所求．
4xMa4五、求椭圆的离心率问题。
例 5一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
a2113?2? ∴3c2?a2，∴e?解：?2c?． ?c333x2y21??1的离心率e?，求k的值． 例6 已知椭圆
k?892 解：当椭圆的焦点在x轴上时，a2?k?8，b2?9，得c2?k?1．由e?当椭圆的焦点在y轴上时，a2?9，b2?k?8，得c2?1?k． 由e?1，得k?4． 211?k155?，即k??．∴满足条件的k?4或k??． ，得
29444
六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题
例：7.若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求
1
顶点C的轨迹方程。
解：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，
x2y2
故顶点C的轨迹方程为25＋9＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C
x2y2x2y2
的轨迹方程为25＋9＝1(y≠0)答案：25＋9＝1(y≠0)
x2y2
2．已知椭圆的标准方程是a2＋25＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，求△ABF2的周
长．
因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝41，所以△ABF2的周长为4a＝441.
x2y2
3．设F1、F2是椭圆9＋4＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，求△PF1F2的面积．
解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(25)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面
11积为2PF1·PF2＝2×2×4＝4
七、直线与椭圆的位置问题
x2?11??y2?1，求过点P?，?且被P平分的弦所在的直线方程． 例 8已知椭圆2?22?分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k．
11??解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y??k?x??．代入椭圆方程，并整理得
22??2k2?2k123222． 1?2kx?2k?2kx?k?k??0．由韦达定理得x1?x2?21?2k221∵P是弦中点，∴x1?x2?1．故得k??．所以所求直线方程为2x?4y?3?0．
2?11?解法二：设过P?，?的直线与椭圆交于A?x1，y1?、B?x2，y2?，则由题意得
?22??x122?y?1，①1??22?x22② ??y2?1，2?③?x1?x2?1，?④?y1?y2?1.2x12?x22?y12?y2?0． ⑤ ①－②得
2y?y211??，即直线的斜率为?所求直线方程为2x?4y?3?0． 将③、④代入⑤得1x1?x222????八、椭圆中的最值问题
x2y2??1的右焦点为F，例9 椭圆过点A1，3，点M在椭圆上，当AM?2MF为最小值时，求点M1612??的坐标．
2
解：由已知：a?4，c?2．所以e?1，右准线l：x?8． 2过A作AQ?l，垂足为Q，交椭圆于M，故MQ?2MF．显然AM?2MF的最小值为AQ，即M为
所求点，因此yM?3，且M在椭圆上．故xM?23．所以M23，3．
??
双曲线典型例题
一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
一下几何图形所带给人们的美感．
x2y2??1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 例1 讨论
25?k9?k分析：由于k?9，k?25，则k的取值范围为k?9，9?k?25，k?25，分别进行讨论． 解：（1）当k?9时，25?k?0，9?k?0，所给方程表示椭圆，此时a2?25?k，b2?9?k，c2?a2?b2?16，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．
（2）当9?k?25时，25?k?0，9?k?0，所给方程表示双曲线，此时，a2?25?k，b2?9?k，c2?a2?b2?16，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．
（3）k?25，k?9，k?25时，所给方程没有轨迹．
说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k值，画出其图形，体会
二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
?15??16?，5?且焦点在坐标轴上．
43????（2）c?6，经过点（－5，2），焦点在x轴上．
x2y22 ??1有相同焦点，且经过点32，（3）与双曲线
164x2y2??1 解：（1）设双曲线方程为
mn∵ P、Q两点在双曲线上，
（1）过点P?3，?，Q?????9225??1??m??16?x2y2?m16n??1 ∴?解得? ∴所求双曲线方程为169?n?9?256?25?1??9mn说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．
y2??1（其中0???6） （2）∵焦点在x轴上，c?6，∴设所求双曲线方程为：
?6??254??1∴??5或??30（舍去） ∵双曲线经过点（－5，2），∴
?6??x2?y2?1 ∴所求双曲线方程是5x2y2??1?0???16? （3）设所求双曲线方程为：
16??4??1842，∴??1∴??4或???14（舍） ∵双曲线过点32，16??4??x2y2??1 ∴所求双曲线方程为
128x2?? 3
x2y2x2y2??1有公共焦点的双曲线系方程为??1后，便有了以上说明：（1）注意到了与双曲线
16416??4??巧妙的设法．
（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．
三、求与双曲线有关的角度问题。
x2y2??1的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且PF例3 已知双曲线1PF2?32，求916?F1PF2的大小．
分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．
解：∵点P在双曲线的左支上∴PF1?PF2?2PF1PF2?36 1?PF2?6∴PF∴PF?100∵F1F2?4c2?4a2?b12?100∴?F1PF2?90? 1?PF2说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．
（2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．
22222??四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。
x2?y2?1的两个焦点，点P在双曲线上且满足?F1PF2?90?，求?F1PF2的例4 已知F1、F2是双曲线4面积．
分析：利用双曲线的定义及?F1PF2中的勾股定理可求?F1PF2的面积．
x2?y2?1上的一个点且F1、F2为焦点． 解：∵P为双曲线4?∴PF1PF2?90 1F2?2c?25∵?F1?PF2?2a?4,F∴在Rt?PF1F2中，PF?F1F2?20∵PF1?PF21?PF2∴20?2PF1PF2?16∴PF1?PF2?2∴S?F1PF2?222??2?PF1?PF2?2PF1PF2?16
221PF1?PF2?1 2说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．
五、根据双曲线的定义求其标准方程。
0?、F2?5，0?，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹． 例5 已知两点F1??5，分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵c?5，a?3∴b2?c2?a2?52?32?42?16
x2y2??1为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． ∴所求方程
916x2y2??1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且PF例 P是双曲线2的值． 1?17，求PF6436分析：利用双曲线的定义求解．
x2y2??1中，a?8，b?6，故c?10． 解：在双曲线
6436由P是双曲线上一点，得PF1?PF2?16．∴PF2?1或PF2?33．
又PF2?c?a?2，得PF2?33．
说明：本题容易忽视PF2?c?a这一条件，而得出错误的结论PF2?1或PF2?33．
说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算． （2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解． 六、求与圆有关的双曲线方程。
4
例6 求下列动圆圆心M的轨迹方程：
?x?2??y2?2内切，且过点A?2，0? （1）与⊙C：2（2）与⊙C1：x2??y?1??1和⊙C2：x2??y?1??4都外切．
22?x?3??y2?9外切，且与⊙C2：?x?3??y2?1内切． （3）与⊙C1：分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙C1、⊙C2的半径为r1、r2且r1?r2，则当它们外切时，O1O2?r1?r2；当它们内切时，
22O1O2?r1?r2．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．
解：设动圆M的半径为r
（1）∵⊙C1与⊙M内切，点A在⊙C外∴MC?r?2，MA?r，MA?MC?2 ∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：
22y272222a??1x??2 ，c?2，b?c?a?∴双曲线方程为2x?272（2）∵⊙M与⊙C1、⊙C2都外切∴MC1?r?1，MC2?r?2，MC2?MC1?1
13∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，且有：a?，c?1，b2?c2?a2?
244x2?3?2∴所求的双曲线的方程为：4y??1?y??
34??（3）∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切
??∴MC1?r?3，MC2?r?1，MC1?MC2?4
∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且有：a?2，c?3，b2?c2?a2?5
x2y2??1?x?2? ∴所求双曲线方程为：45说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．
（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．
（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.
抛物线典型例题
一、求抛物线的标准方程。
例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）x2?4y （2）x?ay2(a?0) 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程． （2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程． 解：（1）?p?2，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：y??1 （2）原抛物线方程为：y2?①当a?0时，
11x，?2p? aap111?，抛物线开口向右，∴焦点坐标是(,0)，准线方程是：x??．
4a24a4ap111②当a?0时，??，抛物线开口向左，∴焦点坐标是(,0)，准线方程是：x??．
4a24a4a11综合上述，当a?0时，抛物线x?ay2的焦点坐标为(,0)，准线方程是：x??．
4a4a二、求直线与抛物线相结合的问题
例2 若直线y?kx?2与抛物线y2?8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．
分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．
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