内容发布更新时间 : 2024/12/25 22:10:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
3-3．一质量为m的陨石从距地面高h处由静止开始落向地面，设地球质量为M，半径为R，忽略空气阻力,试求:
(1) 陨石下落过程中万有引力的功； (2) 陨石落地的速度。 解：
3-4．质量为m=0.002kg的弹丸，其出口速率为300m?s-1，设弹丸在枪筒中前进所受到的合力F?400?8000x，开抢时子弹在x=0处，试求枪筒的长度。
9[解] 设枪筒长度为L，由动能定理知
1212mv?mv0 22LL8000x 其中A??Fdx??(400?)dx
0094000L2 ?400L?9 A? 而v0?0， 所以有：
4000L2 400L??0.5?0.002?3002
9400L2?360L?81?0 化简可得：
L?0.45m 即枪筒长度为0.45m。
3-5．在光滑的水平桌面上平放有习题3-5图所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度v0沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为?，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所做的功为W?12mv0e2v0
[证明] 物体受力：屏障对它的压力N，方向指向圆心，摩擦
力f方向与运动方向相反，大小为 f??N (1)
另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。
由牛顿运动定律 切向 ?f?mat (2)
习题3-5图
??2???1?v2 法向 N?m (3)
Rv2 联立上述三式解得 at???
Rdvdvdsdv 又 at???v
dtdsdtdsdvv2所以 v ???dsR?dv即 ??ds
vR两边积分，且利用初始条件s=0时，v?v0得
lnv???Rs?lnv0 即 v?v0?seR?
3-6．一质量为m1与另一质量为m2的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由x1增加到x?x1?d时所需要做的功。
[解] 万有引力 F??Gm1m2r2r0
两质点间的距离由x增加到x?x1?d时，万有引力所作的功为
A??x1?dx1F?dr???x1?dx1Gm1m2r2?11?dr?Gm1m2???x?dx??
1??1故外力所作的功
A???A??x1?dx1?11?d?F?dr?Gm1m2???Gmm 12?x???x?dxx?d111?1?此题也可用功能原理求： A外??E??Ep＝?
3-7．设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为f?处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r时的势能。
[解]由势能的定义知r处的势能Ep为:
kr3，k为常数。若取无穷远
Ep??f?dr??fdr??rr???rk1dr??kr32r2?r?k2r2
3-8．设地球的质量为M，万有引力恒量为G0，一质量为m的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。试求它从距地心R1下降到R2处时所增加的动能。
[解] 由动能定理，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一过程中地球与飞船系统势能增量的负值，即：
?Ek???Ep??[?G0MmMm?(?G0)]R2R1Mm(R1?R2)?G0R1R2
3-9．双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成Ep?x??ax12?bx6，EPx1x2x其中a、b为常数，x为原子间距，两原子的势能曲线如习题3-9图所示。试问：
(1)x为何值时Ep?x??0? x为何值时Ep?x?为极小值?
(2)试确定两原子间的作用力；
(3)假设两原子中有一个保持静止，另一个沿x轴运动，试述可能发生的运动情况。
[解] (1) 当Ep?x?=0时，有：
习题3-9图
ab??0 x12x61a即 x6? 或 6?0
bxa1?0 故 x1?()6或x??时，E（px）b?0 dxab即 ?1213?67?0
xx所以 x1??Ep(x)为极小值时，有
dEp(x)?2a???b?16或x2??
(2)设两原子之间作用力为f?x?，则
f(x)??gradE(x)
p在一维情况下，有
f(x)??dEp(x)dx?12ab ?6x13x7(3)由原子的受力情况可以看出可能发生的运动情况为:当x 用f(x)>0，它们互相排斥，另一原子将远离；当x>x2时f(x)<0，它们又互相吸引，另一 原子在远离过程中减速，直至速度为零，然后改变方向加速靠近静止原子，再当x 又受斥力，逐渐减速到零，原子又将远离。如此循环往复。若开始时两原子离得很远，则f(x)趋于零，两原子互不影响。