内容发布更新时间 : 2024/12/23 10:41:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
(3)lubB=6, glbB=1
五、证明题
1. 设?1,?2为集合A上的等价关系, 试证?1??2也是集合A上的等价关系。 证明:由于?1,?2是自反的,所以对任意a?A,?a,a???1,?a,a???2, 因而
?a,a???1??2,即?1??2是自反的。
若?a,b???1??2,则?a,b???1,?a,b???2,由于?1,?2是对称的,所以?b,a???1,?b,a???2, 从而?b,a???1??2,即?1??2是对称的。 若,则 ?a,b?,?b,c???1??2?a,b?,?b,c???1,?a,b?,?b,c???2,由于?1,?2是传递的,所以?a,c???1,?a,c???2, 从而?a,c???1??2,即?1??2是传递的。 由于?1??2是自反的、对称的和传递的,所以?1??2是等价关系。
第二章 代数系统
一、判断题
(1)集合A上的任一运算对A是封闭的. ( 对 ) (2)代数系统的零元是可逆元. ( 错 ) (3)设A是集合,?:A?A?A,a?b?b,则?是可结合的. ( 对 ) (4)设a,b是代数系统?A,??的元素,如果a?b?b?a?e(e是该代数系统的单位元),则
a?1?b. ( 对 )
(5)设a,b是群?G,??的元素,则(a?b)?1?a?1?b?1. ( 错 ) (6)设?G,??是群.如果对于任意a,b?G,有 (a?b)?a?b,则?G,??是阿贝尔群. ( 对 )
222. ( 对 ) (7)设?L,?,??是格,则运算?满足幂等律(8)设集合A?{a,b},则?{?,{a},{b},A},?,??是格. ( 对 ) (9)设?B,?,?,?是布尔代数,则?B,?,??是格. ( 对 )
5
二、单项选择题
(1)在整数集Z上,下列哪种运算是可结合的 ( B )
a,b} A. a?b?a?b B.a?b?max{C. a?b?a?2b D. a?b?|a?b|
(2)下列定义的实数集R上的运算 * 中可结合的是. ( C )
A.a?b?a?a?b B.a?b?a?2a?b C.a?b?b
D.a?b?a?b
其中,+,·,︱ ︱分别为实数的加法、乘法和取绝对值运算.
(3)设集合A??1,2,3,4,?,10?,下面定义的哪种运算关于集合A不是封闭的
( D )
A. x?y?max{x,y} B. x?y?min{x,y}
C. x?y?GCD{x,y},即x,y的最大公约数 D. x?y?LCM{x,y},即x,y的最小公倍数
(4)下列哪个集关于减法运算是封闭的 ( B ) A. N(自然数集); B.{2x|x?Z(整数集)}; C. {2x?1|x?Z}; D. {x|x是质数}.
(5)设Q是有理数集,在Q定义运算?为a?b?a?b?ab,则Q,?的单位元 为 ( D ) A. a; B.b; C. 1; D. 0
(6)设代数系统?A,·?,则下面结论成立的是. ( C ) A.如果?A,·?是群,则?A,·?是阿贝尔群 B.如果?A,·?是阿贝尔群,则?A,·?是循环群 C.如果?A,·?是循环群,则?A,·?是阿贝尔群 D.如果?A,·?是阿贝尔群,则?A,·?必不是循环群
(7)循环群Z,?的所有生成元为 ( D ) A. 1,0 B.-1,2 C. 1,2 D. 1,-1 三、填空题
6
A
1. 设A为非空有限集,代数系统?2A,??中,2对运算?的单位元为 ,零元
为 .填?,A
2.代数系统?Z,??中(其中Z为整数集合,+为普通加法),对任意的x?I,其
x?1? .填?x
3.在整数集合Z上定义?运算为a?b?a?2?b,则?Z,??的单位元为 . 解 设单位元为e,a?e?a?2?e?a,所以e??2,
又a?(?2)?a?2?(?2)?a,(?2)?a?(?2)?2?a?a,所以单位元为e??2
4.在整数集合Z上定义?运算为a?b?a?b?ab,则?Z,??的单位元为 . 解设单位元为e,a?e?a?e?ae?a,(1?a)e?0,所以e?0
5.设G,?是群,对任意a,b,c?G,如果a?b?a?c,,则 .填b?c 6.设G,?是群,e为单位元,若G元素a满足a?a,则a? .填e 四、解答题
1.设?为实数集R上的二元运算,其定义为
2?:R2?R,a?b?a?b?2ab,对于任意a,b?R
求运算?的单位元和零元。
解:设单位元为e,则对任意a?R,有a?e?a?e?2ae?a, 即 e(1?2a)?0,由a的任意性知 e?0,
又对任意a?R,a?0?a?0?0?a;0?a?0?a?0?a
所以单位元为0 设零元为?,则对任意a?R,有a???a???2a???, 即 a(1?2?)?0,由a的任意性知 ???又对任意a?R,a?(?)?a?所以零元为 ?1 21211111?a??,(?)?a???a?a?? 222221 22. 设?为集合I5?{0,1,2,3,4}上的二元运算,其定义为
?:I5?I5,a?b?(ab)mod5,对于任意a,b?I5
(1) 写出运算?的运算表;
(2) 说明运算?是否满足交换律、结合律,是否有单位元和零元、如果有请指出; (3) 写出所有可逆元的逆元 解:(1)运算表为
27
? 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1
(2)运算?满足交换律、结合律,有单位元,单位元为1,有零元,零元为0; (3)1的逆元为1,2的逆元为3,3的逆元为2,4的逆元4,0没有逆元
五、证明题
1. 设 ?G,?? 是一个群,试证 G 是交换群 当且仅当对任意的a,b?G ,有 a2?b2?(a?b)2 . 证明:充分性
若在群?G,??中,对任意的a,b?G ,有a2?b2?(a?b)2 . 则 (a?a)?(b?b)?(a?b)?(a?b) a?(a?b)?b?a?(b?a)?b
a?b?b?a 从而 ?G,?? 是一个交换群。 必要性
若?G,?? 是一个交换群,对任意的a,b?G ,有a?b?b?a,则 a?(a?b)?b?a?(b?a)?b (a?a)?(b?b)?(a?b)?(a?b) 即a?b?(a?b).
2. 证明代数系统?Z,??是群,其中二元运算?定义如下:
?:Z?Z,x?y?x?y?3 (这里,+,-分别是整数的加法与减法运算.) 证明 (1)运算满足交换律 对任意x,y,z?Z,由
2222(x?y)?z?(x?y?3)?z?x?y?z?6,
x?(y?z)?x?(y?z?3)?x?y?z?6
得(x?y)?z?x?(y?z),即?满足结合律;
(2)有单位元 3是单位元; (3)任意元素有逆元 对任意x?Z,x?1?6?x.所以,?Z,??是群.
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