内容发布更新时间 : 2024/12/23 13:59:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
中考数学专题题库∶锐角三角函数的综合题含答案
一、锐角三角函数
1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米.
【答案】5?53 4 【解析】 【分析】
如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】
解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD,
∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP,
∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∴∠COP=
1∠COD=30°, 2∴QM=OP=OC?cos30°=53(分米), ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=
1OA=5(分米), 2∴AM=AQ+MQ=5+53. ∵OB∥CD,
∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=EF2?FK2=26(分米), ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米),
在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米),
2=2在Rt△FJE′中,E′J=62?6, (23)∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4.
故答案为:5+53,4.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.
2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF. (1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;
(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由
(3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.
【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP的长为6?2或23. 3【解析】
【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE;
(2)如图2中,延长EO交CF于K,由已知证明△ABE≌△BCF,△AOE≌△COK,继而可证得△EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK,OF=OE; (3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得. 【详解】(1)如图1中,延长EO交CF于K,
∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO, ∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK,
1EK=OE; 2(2)如图2中,延长EO交CF于K,
∵△EFK是直角三角形,∴OF=
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF, ∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF, ∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF, ∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE;
(3)如图3中,点P在线段AO上,延长EO交CF于K,作PH⊥OF于H,