内容发布更新时间 : 2024/12/25 21:13:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
uuuruuur?15．解：（1）由2S?AB?AC，得bcsinA?bccosA,所以tanA?1,因为A??0,??，所以A? 6分
44372（2）?ABC中，cosB?,所以sinB?，所以sinC?sin?A?B??sinAcosB?cosAsinB?..10分
1055a7ac，得，解得a=5 ..................................14分 ??sinAsinC272210?（评分细则：第一问解答中不交代“A??0,??”而直接得到“A?”的，扣1分；第二问解答中不交代“由
由正弦定理
4正弦定理得的”，扣1分.）
16．证明：（1）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1?平面ABC . ... .. ....................2分
因为AD?平面ABC，所以BB1?AD,又因为AD?DE，在平面BCC1B1中，BB1与DE相交，所以
AD?平面BCC1B1，又因为AD?平面ADE,所以平面ADE?平面BCC1B1..................6分 (2) 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1?平面A1B1C1 . ...................... ....... ..................8分
因为A1F?平面A1B1C1,所以BB1?A1F,又因为A1F?B1C1，在平面BCC1B1中BB1IB1C1?B1，所以
A1F?平面BCC1B1, . ........ .............. .................. .............. ..........................10分
在（1）中已证得AD?平面BCC1B1，所以A1F//AD，又因为A1F?平面ADE，AD?平面ADE,所以A1F//平面ADE. ........ .............. .................. ..................... ..... .... ... ........................14分
（评分细则：第一问和第二问中应该由“直三棱柱得到侧棱BB1与底面垂直”，从而得到“BB1?AD和
BB1?A1F”，如果直接由“直三棱柱得到线线垂直”的，各扣2分；第二问中证明线面平行时若不交代
“A1F?平面ADE”，扣2分.）
17．（1）由题f?6??29.6，代入f?x??mlnx?x?600x?6?4?x?22,m?R?，解得m?12……5分
x2?14412?x144?x21600(12?x)（2）由已知函数求导得：f?(x)??6002?(12?x)[?2] 22xx(x?144)(x?144)令f?(x)?0得x?12，…………………………………………………………………9分
x x?(4,12) x?12 f??x?=0 极大值 x?(12,22) f??x? f?x? + Z ] 所以函数在x?12时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时. …………12分 答：（1）实数m的值为12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为12时..…………………14分 （评分细则：第一问若不列表或文字说明单调性的扣3分；最后未给出“答”再扣2分.）
a2a2c1?8得?4，所以a?2，c?1，18．解：（1）椭圆C的离心率为e??，两准线间的距离为2cca2x2y22??1.…………………………………………3分 所以b?3，所以椭圆的方程为43
x02y023x022??1得y0?3?（2）设P(x0,y0)，由于m?0，则Q(?x0,?y0)，由，………5分 4343x023?y0?y0y023所以k1k2=??2=24??……………………………………8分
x0?2?x0?2x0?4x0?44（3）由（1）得A??2,0?.
?x2y2?1??方法一：设P(x1,y1)，设直线AP的方程为AP：y?k1?x?2?，联立?4，消去y，得3?y?k?x?2?1?16k12?12(3?4k)x?16kx?16k?12?0，所以xA?x1?，………………10分 23?4k121221216?8k126?8k1212k112k1所以x1?， 代入y?k1?x?2?得y1?，所以P(,)……12分 22223?4k13?4k13?4k13?4k124k12?2?12k111由k1k2??得k2??，整体代换得Q(,)………………………13分 224k41?12k11?12k11uuuuruuuur设M?m,0?，由P、Q、M三点共线得PM//QM，即
12k124k12?2?12k16?8k122，化简得?(?m)??(?m)m?116k?4?=0，所以m=1…16分 ???122223?4k11?12k11?12k13?4k1?x2y2?1??方法二：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立?4，消去y，得3?l:y?k?x?m??18mk24m2k2?12(3?4k)x?8mkx?4mk?12?0，所以x1+x2?，x1?x2?………10分
3?4k23?4k22x1x2?m?x1?x2??m2?k?x1?m?k?x2?m?k?y1y2????1， ……13分
而k1k2?????x1?2x2?2x1+2x2+2x1x2+2?x1+x2?+44222221222222mk+mk?2k?0k?0m+m?2?0，解，即，显然，所以??22224mk?16mk?16k4得m=1或m??2（舍去）此时??0， ?m?1 ……………………16分
化简得
19. 解：（1）由函数f(x)?x3?tx2?1，得f?(x)?3x2?2tx，由f?(x)?0，得x?0，或x?t，
k2?3m2?12?233. …………4分 24t2222（2）方法一:令f??x??3x?2tx=p，即3x?2tx?p?0，?=4t?12p，当p??时，??0，此时
3因函数f(x)在(0,1上无极值点，所以t?0或t?1，解得t?0或t?）23233x2?2tx?p?0存在不同的两个解x1,x2.………………………………………………8分
（方法二：由（1）知f?(x)?3x2?2tx，令f?(x)?1，则3x2?2tx?1?0，所以??(?2t)2?12?0，即对
任意实数t，f?(x)?1总有两个不同的实数根x1,x2，所以不论t为何值，函数f(x)在两点x?x1，x?x2处的切线平行.……………………………………………………8分）
设这两条切线方程为分别为y?3x12?2tx1x?2x13?tx12+1和y?3x22?2tx2x?2x23?tx22+1，若两切线重合，则
2?????2x13?tx12+1=?2x23?tx22+1,即2x12+x1x2?x22?t?x1?x2?，即
??2??x1?x2??x1x2??t?x1?x2?，而??x1?x2=
2t3，化简得
t2x1?x2=9，此时
?x1?x2?2??x1?x2?24t24t2?4x1x2???0，与x1?x2矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任
99意实数t，函数f(x)的图象总存在两条切线相互平行…………………………………10分
322（3）当t=3时f(x)?x?3x+1，f?(x)?3x?6x，由（2）知x1+x2=2时，两切线平行.设
A?x1,x13?3x12+1?,B?x2,x23?3x22+1?,不妨设x1?x2，
过点A的切线方程为y?3x12?6x1x?2x13?3x12+1………………………………………11分 所
以
331??，
2两
21条平
2行线间的，化简得
距离
d?2x2?2x?3?x2?x1?9?x12?2x1?62??2x?x?x2?x1????12??2x1x2?3?x1?x2???21?9?x12?2x1?2x1?1??1?，………………………………………13分 ?x1?1?=1+9????22?x1?1?=????0?，则?3?1?9???1?，即???1???2???1??9???1?，即???1???2?8??10??0，显然?=1为一解，?2?8??10=0有两个异于1的正根，所以这样的?有3
2解，而?x1?1?=????0?, x1?x2, x1?x2=2，所以
2令
2x1有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组 ................................……16分
20．解：（1）由a4?a3?4，a3?a2?2，a2?a1?1，累加得a4?8.………………………3分
（2）①因an?1?an?qn?1，所以an?an?1?qn?2，，a2?a1?1，当q?1时，an?n，满足题意；
1?qn1?qn?1?a1，所以an??a1……………………………5分 当q?1时，累加得an?1?1?q1?q若存在r,s,t满足条件，化简得2qs?qr?qt，即2?qr?s?qt?s?2qr?t?2s?2，
此时q?1（舍去）……………………………………………………………………………7分
综上所述，符合条件q的值为1. ………………………………………………………………8分
bn?3?bn?2?bn?1，（2）②由cn?bn?2?3,n?N*可知cn?1?bn?3?3,两式作差可得：又由c1?1,c2?4，
可知b3?4,b4?7故b3?b2?b1，所以bn?2?bn?1?bn对一切的n?N*恒成立……11分 对bn?3?bn?2?bn?1，bn?2?bn?1?bn两式进行作差可得an?3?an?2?an?1,
又由b3?4,b4?7可知a3?1,a4?3，故an?2?an?1?an,(n?2)…………………………13分
222又由an?2?an?1an?3?(an?1?an)?an?1?(an?2?an?1)?(an?1?an)?an?1?(an?2an?1) 222??an?1?anan?2,n?2,所以an?2?an?1an?3?an?1?anan?2 ，……………………………15分 22所以当n?2时|an?1?anan?2|?5,当n?1时|an?1?anan?2|?3,故k的最小值为5.………16分
附加题答案
21（A）解：设直线l上一点(x,y)，经矩阵M变换后得到点(x?,y?)， 所以??a 0??x??x???x??ax，即，因变换后的直线还是直线l，将点(x?,y?)代入直线l的方程， ?????????y?x?dy?1 d??y??y??3??2a?1?2?a?于是2ax?(x?dy)?3?0，即(2a?1)x?dy?3?0，所以?，解得?2，………6分
?d??1???d?1所以矩阵M的特征多项式f(?)???a0?(??a)(??d)?0，
?1??d3与1.…………………………………10分 2解得??a或??d，所以矩阵的M的特征值为
21（B）解：由??2cos?，得?2?2?cos?，所以x2?y2?2x?0，所以圆C的普通方程为(x?1)2?y2?1，圆心C(1,0)，半径r?1，…………………………………………………3分
?3x?2?t??2又?，消去参数t，得直线l方程为x?3y?2?0，……………………………6分 ?y?1t?2?
所以圆心到直线l的距离d?1?212?(3)2?1，所以直线l被圆C截得的弦长为21212?()2?3. ……………………………………………………………………10分
221.（C）因xyz?1，所以x2y2?y2z2?2x2y4z2?2y，
同理y2z2?z2x2?2z，z2x2?x2y2?2x，……………………………………………5分
?2(x?y?z)?6， 三式相加，得2(x2y2?y2z2?z2x2）所以x2y2?y2z2?z2x2?3，当且仅当x2y2=y2z2=z2x2取等，即x?y?z?1， 所以x2y2?y2z2?z2x2的最小值为3. …………………………………………………10分 22.解：（1）因PA?底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直， 以A为原点，AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
又因PA?AB?2，AD?1，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，…2分
uuuruuur2222因E棱PB的中点，所以E(,0,).所以EC?(,1,?)，PD?(0,1,?2)，
2222uuuruuur所以cos?EC,PD??1?111?1??1?222?66，所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为………6分 33uuuruuuruuur22（2）由（1）得EC?(,1,?)，BC?(0,1,0)，DC?(2,0,0)，
22?22uurx1?y1?z1?0?设平面BEC的法向量为n1?(x1,y1,z1)，所以?2， 2?y?0?1uur令x1?1，则z1?1，所以面BEC的一个法向量为n1?(1,0,1)，
?22uurx?y?z2?0?2设平面DEC的法向量为n2?(x2,y2,z2)，所以?22， 2?2x?02?uur令z2?2，则y2?1，所以面DEC的一个法向量为n2?(0,1,2)，