内容发布更新时间 : 2025/6/20 14:30:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
2. 2【解析】 试题解析：（解法1）（Ⅰ）因为PD?底面ABCD，所以PD?BC， 由底面ABCD为长方形，有BC?CD，而PDICD?D， 所以BC?平面PCD. 而DE?平面PCD，所以BC?DE. 又因为PD?CD，点E是PC的中点，所以DE?PC.
而PCIBC?C，所以DE?平面PBC. 而PB?平面PBC，所以PB?DE. 又PB?EF，DEIEF?E，所以PB?平面DEF.
由DE?平面PBC，PB?平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为?DEB，?DEF，?EFB，?DFB. （Ⅱ）如图1，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD 的交线. 由（Ⅰ）知，PB?平面DEF，所以PB?DG.
又因为PD?底面ABCD，所以PD?DG. 而PDIPB?P，所以DG?平面PBD. 故?BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角， 设PD?DC?1，BC??，有BD?1??2， 在Rt△PDB中, 由DF?PB, 得?DPF??FDB?则 tanπ, 3πBD?tan?DPF??1??2?3, 解得??2. 3PDDC12??. 所以
BC?2DC2π?故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，. BC23（解法2）
（Ⅰ）如图2，以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设
uuurPD?DC?1，BC??，则D(0,0,0),P(0,0,1),B(?,1,0),C(0,1,0)，PB?(?,1,?1)，点E是PC的中点，
所
uuur1111以E(0,,)，DE?(0,,)，
2222uuuruuur于是PB?DE?0，即PB?DE.
又已知EF?PB，而DEIEF?E，所以PB?平面DEF. uuuruuuruuur因PC?(0,1,?1), DE?PC?0, 则DE?PC, 所以DE?平面PBC.
由DE?平面PBC，PB?平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为?DEB，?DEF，?EFB，?DFB.
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uuur（Ⅱ）由PD?平面ABCD，所以DP?(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量；
uuur由（Ⅰ）知，PB?平面DEF，所以BP?(??,?1,1)是平面DEF的一个法向量.
π若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，
3uuuruuurπBP?DP11ruuur??， 则cos?uuu3|BP|?|DP|?2?22解得??2. 所以
DC12??. BC?2DC2π时，. ?BC23考点：1.四棱锥的性质，2.线、面垂直的性质与判定，3.二面角. 10. (2015湖北文)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P?ABCD中，侧棱PD?底面ABCD，且PD?CD，点E是PC的中点，连接DE,BD,BE.
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
（Ⅰ）证明：DE?平面PBC. 试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
V（Ⅱ）记阳马P?ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求1的值．
V2【答案】（Ⅰ）因为PD?底面ABCD，所以PD?BC. 由底