泛函分析复习提要
一?/p>
填空
1.
?/p>
X
是度量空间,
E
?/p>
M
?/p>
X
中两个子集,
如果
?/p>
则称?/p>
M
在集
E
?/p>
稠密。如?/p>
X
有一个可数的稠密子集,则?/p>
X
?/p>
空间?/p>
2.
?/p>
X
是度量空间,
M
?/p>
X
中子集,
?/p>
?/p>
则称
M
是第一纲集?/p>
3
.
?/p>
T
为复
Hilbert
空间
X
上的有界线性算子,
若对任何
x
X
?/p>
?/p>
?/p>
*
T
x
Tx
?/p>
?/p>
?/p>
T
?/p>
算子
?/p>
( Hilbert
空间
H
上的有界线性算?/p>
T
是正常算子的充要条件?/p>
?/p>
)
4.
若复
Hilbert
空间
X
上有界线性算?/p>
T
满足对一?/p>
x
X
?/p>
?/p>
,
Tx
x
?/p>
?/p>
是实数,
?
T
?/p>
算子?/p>
( Hilbert
空间
H
上的有界线性算?/p>
T
是自伴算子的充要条件?/p>
?/p>
)
5.
?/p>
X
是赋范线性空间,
X
?/p>
?/p>
X
的共轭空间,泛函?/p>
(
1,
2,
)
n
f
X
n
?/p>
?/p>
?/p>
,如?/p>
存在
f
X
?/p>
?/p>
?/p>
使得对任意的
x
X
?/p>
?/p>
都有
?/p>
则称
{
}
n
f
?/p>
*
收敛?/p>
f
?/p>
6
.
?/p>
,
X
Y
是赋范线性空间,
(
,
)
n
T
B
X
Y
?/p>
?/p>
1
,2,
n
?/p>
,若存在
(
,
)
T
B
X
Y
?/p>
使得
对任意的
x
X
?/p>
,有
,则?/p>
?/p>
?/p>
n
T
强收敛于
T
?/p>
7.
完备的赋范线性空间称?/p>
空间?/p>
完备的内积空间称?/p>
空间
8.
赋范线性空?/p>
X
到赋范线性空?/p>
Y
上的有界线性算?/p>
T
的范?/p>
T
?/p>
9.
?/p>
X
是内积空间,则称
是由内积导出的范数?/p>
10.
?/p>
X
是赋范空间,
X
的范数是由内积引出的充要条件?/p>
?/p>
11.
?/p>
Y
?/p>
Hilbert
空间的闭子空间,?/p>
Y
?/p>
Y
?/p>
?/p>
满足
?/p>
12.
?/p>
X
是赋范空间,
:
(
)
T
D
T
X
X
?/p>
?/p>
的线性算子,?/p>
T
满足
时,
?/p>
T
是闭算子?/p>
二、叙述下列定义及定理
1.
里斯?/p>
Riesz
)定理;
2.
实空间上的汉?/p>
-
巴拿赫泛函延拓定理;