第一?/p>
导数及其应用
§变化率问?/p>
教学目标?/p>
1
.理
解平
均变
化率
的概
念;
2
.了?/p>
平均
变化
率的
几何
意义
?/p>
3
?/p>
会求
函数
在某
点处
附近
的平?/p>
变化
?/p>
教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率;
教学难点:平均变化率的概念.
教学过程?/p>
一.创设情?/p>
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产?/p>
了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关?/p>
一、已知物体运动的路程作为时间的函?/p>
,
求物体在任意时刻的速度与加速度?/p>
;
二、求曲线的切?/p>
;
三、求已知函数的最大值与最小?/p>
;
四、求长度、面积、体积和重心等?/p>
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效
的工具?/p>
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度?/p>
二.新课讲授
(一)问题提?/p>
问题
1
气球膨胀?/p>
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过?/p>
,
可以发现
,
随着气球内空气容量的增加
,
气球的半径增
加越来越?/p>
.
从数学角?/p>
,
如何描述这种现象?/p>
?

气球的体?/p>
V
(
单位
:
L
)
与半?/p>
r
(
单位
:
dm
)
之间的函数关系是
3

3
4
)
(
r
r
V
?/p>
?
如果将半?/p>
r
表示为体?/p>
V
的函?/p>
,
那么
3
4
3
)
(
?
V
V
r
?/p>
分析
:
3
4
3
)
(
?
V
V
r
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
V
?/p>
0
增加?/p>
1
?/p>
,
气球半径增加?/p>
)
(
62
.
0
)
0
(
)
1
(
dm
r
r
?/p>
?/p>
气球的平均膨胀
率为
)
/
(
62
.
0
0
1
)
0
(
)
1
(
L
dm
r
r
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
V
?/p>
1
增加?/p>
2
?/p>
,
气球半径增加?/p>
)
(
16
.
0
)
1
(
)
2
(
dm
r
r
?/p>
?/p>
气球的平均膨胀率为
)
/
(
16
.
0
1
2
)
1
(
)
2
(
L
dm
r
r
?/p>
?/p>
?/p>
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
思考:当空气容量从
V
1
增加?/p>
V
2
?/p>
,
气球的平均膨胀率是多少
?
1
2
1
2
)
(
)
(
V
V
V
r
V
r
?/p>
?/p>
h
t
o