第十一章:曲线积分与曲面积?/p>
一?/p>
对弧长的曲线积分
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?
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L
L
y
d
x
d
y
x
f
ds
y
x
f
2
2
)
,
(
)
,
(
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?
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)
(
)
(
:
t
y
y
t
x
x
L
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t
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原式
=
dt
t
y
t
x
t
y
t
x
f
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?
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)
(
)
(
))
(
),
(
(
2
2
对弧长的曲线积分
2
2
2
(
,
,
)
(
(
),
(
),
(
))
L
L
f
x
y
z
ds
f
x
t
y
t
z
t
d
x
d
y
d
z
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?
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(
)
:
(
)
(
)
x
x
t
L
y
y
t
z
z
t
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?/p>
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?
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?/p>
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t
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原式
=
2
2
2
(
(
),
(
),
(
))
(
(
))
(
(
))
(
(
))
f
x
t
y
t
z
t
x
t
x
y
t
z
t
dt
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?
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常见的参数方程为?/p>
特别的:
2
2
2
2
2
.2
x
y
L
L
L
e
ds
e
ds
e
ds
e
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?
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2
2
=2
(
0)
L
x
y
y
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为上半圆?/p>
二、对坐标的曲线积?/p>
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L
dy
y
x
q
dx
y
x
p
)
,
(
)
,
(
计算方法一?/p>
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)
(
)
(
:
t
y
y
t
x
x
L
起点?/p>
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t
,终点处
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t
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原式
=
dt
t
y
t
y
t
x
q
dt
t
x
t
y
t
x
p
)
(
))
(
),
(
(
)
(
))
(
),
(
(
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?
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对坐标的曲线积分
(
,
,
)
(
,
,
)
(
,
,
)
L
P
x
y
z
dx
Q
x
y
z
dy
R
x
y
z
dz
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?
(
)
(
)
x
x
y
x
x
y
y
y
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?
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(
)
(
)
x
x
y
y
x
y
y
x
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2
2
2
x
y
y
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2
x
x
y
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