序言
数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支?/p>
其初等部分是以整数的整除性为中心
的,包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数(即整数)分布
以及数论函数等内容,
统称初等数论?/p>
Elementary Number Theory
)?/p>
初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的?/p>
几何原本》中就已出现。欧几里得证
明了素数有无穷多个,
他还给出求两个自然数的最大公约数的方法,
即所谓欧几里得算法?/p>
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献?/p>
现在一般数论书中的
“中国剩余定理?/p>
正是我国古代
《孙子算经》中的下卷第
26
题,我国称之为“孙子定理”?/p>
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作?/p>
1801
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?/p>
?/p>
?/p>
数学是科学之王,数论是数学之王?/p>
?/p>
-----
高斯
由于?/p>
20
世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具,
数论得到进一步的发展?/p>
?/p>
而开阔了新的研究领域,出现了代数数论、解析数论、几何数论等
新分支。而且近年来初
等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到?/p>
广泛?/p>
应用,无疑同时间促进着数论的发展?/p>
数论是以严格和简洁著称,
内容既丰富又深刻?/p>
我将会介绍数论中最基本的概念和
理论?/p>
希望大家能对这门学问产生兴趣?/p>
并且对中小学时代学习过的一些基本概念,
例如?/p>
除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等,有较深入的了解?/p>
第一?/p>
整数的整除?/p>
§
1.1
整除的概?/p>
一、基本概?/p>
1
、自然数、整?/p>
2
、正整数、负整数
3
、奇数、偶?/p>
一个性质?/p>
整数
+
整数
=
整数
整数
-
整数
=
整数
整数
*
整数
=
整数
二、整?/p>
1
、定义:?/p>
a
?/p>
b
是整数,
b
?/p>
0
。如果存在一个整?/p>
q
使得等式?/p>
a=bq
成立,则?/p>
b
能整?/p>
a
?/p>
a
能被
b
整除,记?/p>
b
?/p>
a
;如果这样的
q
不存在,则称
b
不能整除
a
?/p>
2
、整除的性质
?/p>
1
)如?/p>
b
?/p>
a
?/p>
c
?/p>
b
,则
c
?/p>
a.
?/p>
2
)如?/p>
b
?/p>
a
,则
cb
?/p>
ca.
?/p>
3
)如?/p>
c
?/p>
a
,则对任何整?/p>
d
?/p>
c
?/p>
da.
?/p>
4
)如?/p>
c
?/p>
a
?/p>
c
?/p>
b
,则对任意整?/p>
m
?/p>
n
,有
c
?/p>
ma+nb.
?/p>
5
)如?/p>
a
?/p>
b
?/p>
b
?/p>
a
,则
a=
±
b.