?/p>
2
课时
数列的综合问?/p>
题型一
数列与函?
?/p>
1
数列
{
a
n
}
的前
n
项和?/p>
S
n
?/p>
2
S
n
?/p>
a
n
?/p>
1
?/p>
2
n
?/p>
1
?/p>
1
?/p>
n
?/p>
N
?/p>
,且
a
1
?/p>
a
2
?/p>
5
?/p>
19
成等差数列.
(1)
?/p>
a
1
的值;
(2)
证明
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?
a
n
2
n
?/p>
1
为等比数列,并求数列
{
a
n
}
的通项公式?/p>
(3)
?/p>
b
n
?/p>
log
3
(
a
n
?/p>
2
n
)
,若对任意的
n
?/p>
N
?/p>
,不等式
b
n
(1
?/p>
n
)
?/p>
λ
n
(
b
n
?/p>
2)
?/p>
6<0
恒成立,
试求实数
λ
的取值范围.
?/p>
(1)
?/p>
2
S
n
?/p>
a
n
?/p>
1
?/p>
2
n
?/p>
1
?/p>
1
?/p>
n
?/p>
N
?/p>
中,
?/p>
n
?/p>
1
,得
2
S
1
?/p>
a
2
?/p>
2
2
?/p>
1
,即
a
2
?/p>
2
a
1
?/p>
3
,①
?/p>
2(
a
2
?/p>
5)
?/p>
a
1
?/p>
19
,②
则由①②解得
a
1
?/p>
1.
(2)
?/p>
n
?
时,?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
S
n
?/p>
a
n
?/p>
1
?/p>
2
n
?/p>
1
?/p>
1
?/p>
?
2
S
n
?/p>
1
?/p>
a
n
?/p>
2
n
?/p>
1
,④
③-④得
2
a
n
?/p>
a
n
?/p>
1
?/p>
a
n
?/p>
2
n
?/p>
?/p>
a
n
?/p>
1
2
n
?/p>
1
?/p>
1
?/p>
3
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
a
n
2
n
?/p>
1
?/p>
?/p>
a
2
?/p>
5
,则
a
2
2
2
?/p>
1
?/p>
3
2
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
a
1
2
1
?/p>
1
.
∴数?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
a
n
2
n
?/p>
1
是以
3
2
为首项,
3
2
为公比的等比数列?/p>
?/p>
a
n
2
n
?/p>
1
?/p>
3
2
×
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
3
2
n
?/p>
1
,即
a
n
?/p>
3
n
?/p>
2
n
.
(3)
?/p>
(2)
可知?/p>
b
n
?/p>
log
3
(
a
n
?/p>
2
n
)
?/p>
n
.
?/p>
b
n
(1
?/p>
n
)
?/p>
λ
n
(
b
n
?/p>
2)
?/p>
6<0
恒成立时?/p>
?/p>
(1
?/p>
λ
)
n
2
?/p>
(1
?/p>
2
λ
)
n
?/p>
6<0(
n
?/p>
N
?/p>
)
恒成立.
?/p>
f
(
n
)
?/p>
(1
?/p>
λ
)
n
2
?/p>
(1
?/p>
2
λ
)
n
?/p>
6(
n
?/p>
N
?/p>
)
?/p>
?/p>
λ
?/p>
1
时,
f
(
n
)
=-
n
?/p>
6<0
恒成立,?/p>
λ
?/p>
1
满足条件?/p>
?/p>
λ
<1
时,由二次函数性质知不恒成立;
?/p>
λ
>1
时,由于对称?/p>
n
=-
1
?/p>
2
λ
2
?/p>
1
?/p>
λ
?/p>
<0
?/p>
?/p>
f
(
n
)
?/p>
[1
,+?上单调递减?/p>