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分支定界法和割平面法

 

 

 

 

 

 

在上学期课程中学习的线性规划问题中?/p>

有些最优解可能是分数或消失?/p>

但现实中某些

具体的问题,常要求最优解必须是整数,这样就有了对于整数规划的研究?/p>

 

整数规划有以下几种分类:

?/p>

1

)如果整数规划中所有的变量都限制为(非负)整数,就

称为纯整数规划或全整数规划;

?/p>

2

)如果仅一部分变量限制为整数,则称为混合整数规划;

?/p>

3

)整数规划还有一种特殊情形是

0-1

规划,他的变量取值仅限于

0

?/p>

1

。本文就适用?/p>

纯整数线性规划和混合整数线性规划求解的分支定界法和割平面法,做相应的介绍?/p>

 

一、分支定界法

 

在求解整数规划是?/p>

如果可行域是有界的,

首先容易想到的方法就是穷举变

量的所有可行的整数组合?/p>

然后比较它们的目标函数值以定出最优解?/p>

对于小型

问题,变量数量很少,可行的整数组合数也是很小时,这个方法是可行的,也?/p>

有效的。而对于大型的问题,可行的整数组合数很大时,这种方法就不可取了?/p>

所以我们的方法一般是仅检查可行的整数组合的一部分,就能定出最有的整数

解。分支定界法就是其中一个?/p>

 

分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题?/p>

在二十世纪六十年代初

?/p>

Land Doig

?/p>

Dakin

等人提出。由于这方法灵活且便于用计算机求解,所以现

在它已是解整数规划的重要方法?/p>

目前已成功地应用于求解生产进度问题?/p>

旅行

推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等?/p>

 

设有最大化的整数规划问?/p>

A

,与它相应的线性规划为问题

B

,从解问?/p>

B

开始,?/p>

其最优解不符?/p>

A

的整数条件,那么

B

的最优目标函数必?/p>

A

的最优目标函?/p>

z

*

的上界,

记作

z

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?/p>

A

的任意可行解的目标函数值将?/p>

z

*

的一个下?/p>

z

?/p>

分枝定界法就是将

B

的可?/p>

域分成子区域再求其最大值的方法。逐步减小

z

和增?/p>

z

,最终求?/p>

z

*

。现用下例来说明?/p>

 

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1 

 

求解下述整数规划

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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1

)先不考虑整数限制,即解相应的线性规?/p>

B

,得最优解为:

 

 

 

 

 

 

1

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4.81,

1.82,

356

x

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z

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可见它不符合整数条件?/p>

这时

z

是问?/p>

A

的最优目标函数?/p>

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*

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记作

z

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显然是问?/p>

A

的一个整数可行解,这?/p>

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,是

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的一个下界,记作

z

,即

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)因?/p>

X

1

X

2

当前均为非整数,故不满足整数要求,任选一个进行分枝。设?/p>

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1

进行

分枝,于是对原问题增加两个约束条件:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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(即两支?/p>

,给每支增加一个约束条件并?/p>

影响问题

A

的可行域,不考虑整数条件解问?/p>

B

1

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B

2

 

,称此为第一次迭代。得到最优解

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在上学期课程中学习的线性规划问题中?/p>

有些最优解可能是分数或消失?/p>

但现实中某些

具体的问题,常要求最优解必须是整数,这样就有了对于整数规划的研究?/p>

 

整数规划有以下几种分类:

?/p>

1

)如果整数规划中所有的变量都限制为(非负)整数,就

称为纯整数规划或全整数规划;

?/p>

2

)如果仅一部分变量限制为整数,则称为混合整数规划;

?/p>

3

)整数规划还有一种特殊情形是

0-1

规划,他的变量取值仅限于

0

?/p>

1

。本文就适用?/p>

纯整数线性规划和混合整数线性规划求解的分支定界法和割平面法,做相应的介绍?/p>

 

一、分支定界法

 

在求解整数规划是?/p>

如果可行域是有界的,

首先容易想到的方法就是穷举变

量的所有可行的整数组合?/p>

然后比较它们的目标函数值以定出最优解?/p>

对于小型

问题,变量数量很少,可行的整数组合数也是很小时,这个方法是可行的,也?/p>

有效的。而对于大型的问题,可行的整数组合数很大时,这种方法就不可取了?/p>

所以我们的方法一般是仅检查可行的整数组合的一部分,就能定出最有的整数

解。分支定界法就是其中一个?/p>

 

分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题?/p>

在二十世纪六十年代初

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Land Doig

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Dakin

等人提出。由于这方法灵活且便于用计算机求解,所以现

在它已是解整数规划的重要方法?/p>

目前已成功地应用于求解生产进度问题?/p>

旅行

推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等?/p>

 

设有最大化的整数规划问?/p>

A

,与它相应的线性规划为问题

B

,从解问?/p>

B

开始,?/p>

其最优解不符?/p>

A

的整数条件,那么

B

的最优目标函数必?/p>

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。现用下例来说明?/p>

 

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在上学期课程中学习的线性规划问题中?/p>

有些最优解可能是分数或消失?/p>

但现实中某些

具体的问题,常要求最优解必须是整数,这样就有了对于整数规划的研究?/p>

 

整数规划有以下几种分类:

?/p>

1

)如果整数规划中所有的变量都限制为(非负)整数,就

称为纯整数规划或全整数规划;

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2

)如果仅一部分变量限制为整数,则称为混合整数规划;

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3

)整数规划还有一种特殊情形是

0-1

规划,他的变量取值仅限于

0

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1

。本文就适用?/p>

纯整数线性规划和混合整数线性规划求解的分支定界法和割平面法,做相应的介绍?/p>

 

一、分支定界法

 

在求解整数规划是?/p>

如果可行域是有界的,

首先容易想到的方法就是穷举变

量的所有可行的整数组合?/p>

然后比较它们的目标函数值以定出最优解?/p>

对于小型

问题,变量数量很少,可行的整数组合数也是很小时,这个方法是可行的,也?/p>

有效的。而对于大型的问题,可行的整数组合数很大时,这种方法就不可取了?/p>

所以我们的方法一般是仅检查可行的整数组合的一部分,就能定出最有的整数

解。分支定界法就是其中一个?/p>

 

分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题?/p>

在二十世纪六十年代初

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等人提出。由于这方法灵活且便于用计算机求解,所以现

在它已是解整数规划的重要方法?/p>

目前已成功地应用于求解生产进度问题?/p>

旅行

推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等?/p>

 

设有最大化的整数规划问?/p>

A

,与它相应的线性规划为问题

B

,从解问?/p>

B

开始,?/p>

其最优解不符?/p>

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B

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求解下述整数规划

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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B

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可见它不符合整数条件?/p>

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分枝,于是对原问题增加两个约束条件:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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于是可将原问题分解为两个子问?/p>

B

1

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,给每支增加一个约束条件并?/p>

影响问题

A

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,称此为第一次迭代。得到最优解

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分支定界法和割平面法 - 百度文库
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分支定界法和割平面法

 

 

 

 

 

 

在上学期课程中学习的线性规划问题中?/p>

有些最优解可能是分数或消失?/p>

但现实中某些

具体的问题,常要求最优解必须是整数,这样就有了对于整数规划的研究?/p>

 

整数规划有以下几种分类:

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1

)如果整数规划中所有的变量都限制为(非负)整数,就

称为纯整数规划或全整数规划;

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)如果仅一部分变量限制为整数,则称为混合整数规划;

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)整数规划还有一种特殊情形是

0-1

规划,他的变量取值仅限于

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1

。本文就适用?/p>

纯整数线性规划和混合整数线性规划求解的分支定界法和割平面法,做相应的介绍?/p>

 

一、分支定界法

 

在求解整数规划是?/p>

如果可行域是有界的,

首先容易想到的方法就是穷举变

量的所有可行的整数组合?/p>

然后比较它们的目标函数值以定出最优解?/p>

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问题,变量数量很少,可行的整数组合数也是很小时,这个方法是可行的,也?/p>

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分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题?/p>

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在它已是解整数规划的重要方法?/p>

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推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等?/p>

 

设有最大化的整数规划问?/p>

A

,与它相应的线性规划为问题

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求解下述整数规划

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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可见它不符合整数条件?/p>

这时

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是问?/p>

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于是可将原问题分解为两个子问?/p>

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,给每支增加一个约束条件并?/p>

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