1
数列经典题目集锦一
一、构造法证明等差、等?/p>
类型一:按已有目标构?/p>
1
?/p>
数列
{
a
n
}
?/p>
{
b
n
}
?/p>
{
c
n
}
满足?/p>
b
n
?/p>
a
n
?/p>
2
a
n
?/p>
1
?/p>
c
n
?/p>
a
n
?/p>
1
?/p>
2
a
n
?/p>
2
?/p>
2
?/p>
n
?/p>
N
*
.
(1)
若数?/p>
{
a
n
}
是等差数列,求证:数?/p>
{
b
n
}
是等差数列;
(2)
若数?/p>
{
b
n
}
?/p>
{
c
n
}
都是等差数列?/p>
求证:数?/p>
{
a
n
}
从第二项起为等差数列?/p>
(3)
若数?/p>
{
b
n
}
是等差数列,试判断当
b
1
?/p>
a
3
?/p>
0
时,
数列
{
a
n
}
是否成等差数列?证明你的结论?/p>
类型二:
整体构?/p>
2
、设各项均为正数的数?/p>
{
a
n
}
的前
n
项和?/p>
S
n
,已?/p>
a
1
?/p>
1
,且
(
S
n
?/p>
1
?/p>
λ
)
a
n
?/p>
(
S
n
?/p>
1)
a
n
?/p>
1
对一?/p>
n
?/p>
N
*
都成
立.
(1)
?/p>
λ
?/p>
1
,求数列
{
a
n
}
的通项公式?/p>
(2)
?/p>
λ
的值,使数?/p>
{
a
n
}
是等差数列.
二、两次作差法证明等差数列
3
、设数列
?/p>
?/p>
n
a
的前
n
项和?/p>
?/p>
?/p>
n
S
,已?/p>
11
,
6
,
1
3
2
1
?/p>
?/p>
?/p>
a
a
a
?/p>
?/p>
*
1
,
)
2
5
(
)
8
5
(
N
n
B
An
S
n
S
n
n
n
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,(其中
A
,
B
为常数)?/p>
(1)
?/p>
A
?/p>
B
的值;
(2)
求数?/p>
?/p>
?/p>
n
a
为通项公式?/p>
三、数列的单调?/p>
4.
已知常数
0
?/p>
?/p>
,设各项均为正数的数?/p>
?/p>
?/p>
n
a
的前
n
项和?/p>
n
S
,
满足?/p>
1
1
a
?/p>
?/p>
?/p>
?
1
1
1
3
1
n
n
n
n
n
n
a
S
S
a
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
*
n
?/p>
N
).
?/p>
1
)若
0
?/p>
?/p>
,求数列
?/p>
?/p>
n
a
的通项公式?/p>
?/p>
2
)若
1
1
2
n
n
a
a
?/p>
?/p>
对一?/p>
*
n
?/p>
N
恒成立,求实?/p>
?/p>
的取值范围.
5.
设数?/p>
?/p>
?/p>
n
a
是各项均为正数的等比数列,其?/p>
n
项和?/p>
n
S
,若
1
5
64
a
a
?/p>
?/p>
5
3
48
S
S
?/p>
?/p>
.
?/p>
1
)求数列
?/p>
?/p>
n
a
的通项公式?/p>
?/p>
2
)对于正整数
,
,
k
m
l
?/p>
k
m
l
?/p>
?/p>
?/p>
,求证:
?/p>
1
m
k
?/p>
?/p>
?/p>
3
l
k
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
5
,
,
k
m
l
a
a
a
这三项经适当排序?
能构成等差数?/p>
?/p>
成立的充要条件;
?/p>
3
)设数列
?/p>
?/p>
n
b
满足:对任意的正整数
n
,都?/p>
1
2
1
3
2
1
n
n
n
n
a
b
a
b
a
b
a
b
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
3
2
4
6
n
n
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
且集?/p>
*
|
,
n
n
b
M
n
n
N
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
中有且仅?/p>
3
个元素,?/p>
?/p>
的取值范?/p>
.