1
第五讲:数学归纳æ³?/p>
数学归纳法是初等数论的基础,它刻画了整数的基本性质
.
虽然数学界仍然有一些数学家不认
可数学归纳法,但是它在初等数论,组合数学,图论,离散数学的研究中被广泛运用,它在ä¸?/p>
学数学竞赛中的地位更是不言而喻ï¼?/p>
凡是遇到和自然数有关的命题都要考虑数学归纳æ³?/p>
.
本讲
我们主要介绍第一数学归纳法,第二数学归纳法,最小自然数原理,最大自然数原理以及它们
的一些简单应ç”?/p>
.
这一部分内容大家可以参看《奥数教程》,《漫话数学归纳法》(苏淳著,
中国科技大学出版社),《数列与数学归纳法》(单墫著,上海科技教育出版社)
.
一.数学归纳法的基本形å¼?/p>
1.
第一数学归纳法:è®?/p>
(
)
P
n
是关于正整数
n
的命题,如果
â‘?/p>
(1)
P
成立(奠基步);
â‘?/p>
假设
(
)
P
k
ï¼?/p>
k
为任意正整数ï¼?/p>
成立,可以推å‡?/p>
(
1)
P
k
�/p>
成立(归纳递推步)ï¼?/p>
那么ï¼?/p>
(
)
P
n
对一切正整数
n
都成ç«?/p>
.
æ³?/p>
1
:如æž?/p>
(
)
P
n
定义åœ?/p>
N
上,åˆ?/p>
â‘?/p>
�/p>
�/p>
(1)
P
成立”应ç”?/p>
�/p>
(0)
P
成立”取ä»?/p>
.
æ³?/p>
2:
第一数学归纳法有如下变化形式ï¼?/p>
跳跃数学归纳法:è®?/p>
(
)
P
n
是关于正整数
n
的命题,如果
â‘?/p>
(1)
P
ï¼?/p>
(2)
P
ï¼?/p>
�
(
)
P
l
成立(奠基步);
â‘?/p>
假设
(
)
P
k
成立,可以推å‡?/p>
(
)
P
k
l
�/p>
成立(归纳递推步)ï¼?/p>
那么ï¼?/p>
(
)
P
n
对一切正整数
n
都成ç«?/p>
.
2.
第二数学归纳法:è®?/p>
(
)
P
n
是关于正整数
n
的命题,如果
â‘?/p>
(1)
P
成立(奠基步);
â‘?/p>
假设
n
k
ï‚?/p>
ï¼?/p>
k
为任意正整数)时
(
)
P
n
ï¼?/p>
1
n
k
ï‚?/p>
ï‚?/p>
)成立,可以推出
(
1)
P
k
�/p>
成立
(归纳递推步)ï¼?/p>
那么ï¼?/p>
(
)
P
n
对一切正整数
n
都成ç«?/p>
.
二:例题选讲
1.
求证ï¼?/p>
2
3
2
1
1
(
1)
4
n
k
n
k
n
�/p>
�
�/p>
�/p>
2.
è®?/p>
1
1
1
2,
(
)
2
n
n
n
a
n
a
a
N
a
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
,求证:
1
2
2
n
a
n
�/p>
�/p>
�/p>
.
3.
è®?/p>
5
n
�/p>
,证明:每一个正方形可以分为
n
个正方形
.
4.
已知数列
{
}
n
a
满足
0
1
2
1
2,
10,
6
n
n
n
a
a
a
a
a
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
ï¼?/p>
求证ï¼?/p>
n
a
可以写成两个整数的平方和
.