1
高中数学竞赛辅导(证共圆问题ï¼?/p>
一、利用圆的定义(找到某一点,证明四点到这一点的距离相等,则此四点共圆)
1
ï¼?/p>
K
为△
ABC
内任一点,在△
ABC
内作三条直线ï¼?/p>
AL
�/p>
BM
�/p>
CN
,使âˆ?/p>
BAL=
�/p>
CAK,
�/p>
ABM=
�/p>
CBK,
�/p>
BCN=
�/p>
ACK,
�/p>
AL=AK
ï¼?/p>
BM=BK
ï¼?/p>
CN=CK
,求证:
K
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L
�/p>
M
�/p>
N
四点共圆ã€?/p>
2
.给定锐角三角形â–?/p>
ABC
,在
BC
边上取点
A
1
2
,
A
ï¼?/p>
2
A
位于
1
A
�/p>
C
之间ï¼?/p>
,在
AC
边上取点
B
1
2
,
B
ï¼?/p>
2
B
ä½?/p>
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1
B
�
A
ä¹?/p>
é—?/p>
),
�
AB
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ç‚?
C
1
2
,
C
ï¼?/p>
2
C
ä½?/p>
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1
C
�
B
ä¹?/p>
é—?/p>
),
ä½?/p>
å¾?/p>
�
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
AA
A
AA
A
BB
B
BB
B
CC
C
CC
C
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
,直çº?/p>
1
AA
�/p>
1
BB
å’?/p>
1
CC
可构成一个三角形,直çº?/p>
2
AA
�/p>
2
BB
å’?/p>
2
CC
可构成另一个三角形,直çº?/p>
1
AA
�/p>
1
BB
å’?/p>
1
CC
,证明:这两个三角形的六个顶点共圆ã€?/p>
3
.设
1
2
3
4
A
A
A
A
为圆的内接四边形ï¼?/p>
1
2
3
4
,
,
,
H
H
H
H
分别ä¸?/p>
2
3
4
3
4
1
4
1
2
1
2
3
,
,
,
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
的垂心,求证ï¼?
1
2
3
4
,
,
,
H
H
H
H
四点共圆ã€?/p>
二、利用角的关ç³?/p>
ï¼?/p>
1
)证明四点为顶点的四边形的内对角互补,则四点共圆ï¼?/p>
ï¼?/p>
2
)证明四点为顶点的丝包线的一外角等于å…?/p>
内对角,则四点共圆;
ï¼?/p>
3
)线段同旁张等角,则四点共圆ã€?/p>
4
.凸四边å½?/p>
ABCD
中,
AC
�/p>
BD
,作垂足
E
关于
AB
�/p>
BC
�/p>
CD
�/p>
DA
的对称点
P
�/p>
Q
�/p>
R
�/p>
S
,求证:
P
�/p>
Q
�/p>
R
�/p>
S
四点共圆ã€?/p>
5
.已çŸ?/p>
O
是⊙
O
1
、⊙
O
2
、⊙
O
3
的公共点,点
A
�/p>
B
�/p>
C
分别是⊙
O
2
与⊙
O
3
、⊙
O
1
与⊙
O
3
、⊙
O
1
与⊙
O
2
的交点,è‹?/p>
A
�/p>
B
�/p>
C
三点共线,求证:
O
�/p>
O
1
�/p>
O
2
�/p>
O
3
四点共圆ã€?/p>