内容发布更新时间 : 2025/1/4 16:24:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

线性代数复习要点

第一部分 行列式

1. 排列的逆序数

2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1. 行列式的计算：

a11a12a22a1na2nann?j1j2 ① (定义法)Dn?a21?(?1)?(j1j2jnjn)a1j1a2j2anjn

an1an2②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

AO④ 若A与B都是方阵（不必同阶）,则

OB=A?OB?AO?B?ABOA?A=?(?1)mnABBOBO

例 计算

2-10-1300000000011-25

解

2-10-1300000-111=??5?7?35 11-13-25-25?a1na2n?1an1O1x22x2n?1x22O?an11xn2?xna1na2n?1O?(?1)n(n?1)2⑤ 关于副对角线：

a1na2nan1

1x1⑥ 范德蒙德行列式：x12x1n?11?j?i?nn?1xn??x?x?

ij例 计算行列式

abbbabbbb?[a?(n?1)b](a?b) an?1⑦ a?b型公式：bbabbb⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.

⑨ (递推公式法) 对n阶行列式Dn找出Dn与Dn?1或Dn?1,Dn?2之间的一种关系——称为递推公式，其中

Dn,Dn?1,Dn?2等结构相同，再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，

使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n阶行列式3. 证明

A，恒有：?E?A??n??(?1)kSk?n?kk?1n，其中Sk为k阶主子式；

A?0的方法：

①、A??A； ②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值.

4. 代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)i?jAijAij?(?1)i?jMij