内容发布更新时间 : 2024/7/1 3:05:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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实验四 求微分方程的解

一、问题背景与实验目的

实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少．另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）．这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法，既要研究微分方程（组）的解析解法（精确解），更要研究微分方程（组）的数值解法（近似解）．

对微分方程（组）的解析解法(精确解)，Matlab 有专门的函数可以用，本实验将作一定的介绍．

本实验将主要研究微分方程(组)的数值解法（近似解），重点介绍 Euler 折线法．

二、相关函数（命令）及简介

1．dsolve('equ1','equ2',…)：Matlab 求微分方程的解析解．equ1、equ2、…为方程（或条件）．写方程（或条件）时用 Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，用用 D2y 表示 y 关于自变量的二阶导数，依此类推．

2．simplify(s)：对表达式 s 使用 maple 的化简规则进行化简． 例如： syms x

simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2) ans=1

3．[r,how]=simple(s)：由于 Matlab 提供了多种化简规则，simple 命令

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就是对表达式 s 用各种规则进行化简，然后用 r 返回最简形式，how 返回形成这种形式所用的规则．

例如： syms x

[r,how]=simple(cos(x)^2-sin(x)^2) r = cos(2*x) how = combine

4．[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) 求微分方程的数值解． 说明：

(1) 其中的 solver为命令 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb 之一．

?dy??f(t,y)(2) odefun 是显式常微分方程：?dt

??y(t0)?y0(3) 在积分区间 tspan=[t0,tf]上，从t0到tf，用初始条件y0求解．

(4) 要获得问题在其他指定时间点t0,t1,t2,?上的解，则令 tspan= ． [t0,t1,t2,?,tf]（要求是单调的）

(5) 因为没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器 Solver，对于不同的ODE 问题，采用不同的Solver．

求解器 ODE类型 特点 说明 word整理版

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Solver ode45 非刚性 单步算法；4、5阶Runge-Kutta大部分场合的首选算方程；累计截断误差达(?x)3 ode23 非刚性 法 单步算法；2、3阶Runge-Kutta使用于精度较低的情方程；累计截断误差达(?x)3 形 ode113 非刚性 多步法；Adams算法；高低精度计算时间比 ode45 短 均可到10?3~10?6 ode23t 适度刚性 ode15s 刚性 采用梯形算法 适度刚性情形 多步法；Gear's反向数值微分；若 ode45 失效时，可精度中等 尝试使用 ode23s 刚性 单步法；2阶 Rosebrock 算法；当精度较低时，计算时低精度 间比 ode15s 短 当精度较低时，计算时间比 ode15s 短 ode23tb 刚性 梯形算法；低精度

(6) 要特别的是：ode23、ode45 是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的解的 Matlab 的常用程序，其中：

ode23 采用龙格-库塔2 阶算法，用3 阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度．

ode45 则采用龙格-库塔4 阶算法，用5 阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度．

5．ezplot(x,y,[tmin,tmax])：符号函数的作图命令．x,y 为关于参数t 的

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