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2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修三

§5 用样本估计总体

[读教材·填要点]

1．用样本估计总体的两种情况 (1)用样本的分布估计总体的分布． (2)用样本的数字特征估计总体的数字特征． 2．频率分布直方图

在频率分布直方图中，纵轴表示

fi

，数据落在各小组内的频率用频率直方图的面积来Δxi

表示，各小长方形的面积的总和等于1.

3．频率折线图

在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．

随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来接近于一条光滑曲线．

[小问题·大思维]

1．将数据的样本进行分组的目的是什么？

提示：从样本中的一个个数字中很难直接看出样本所包含的信息，通过分组，并计算其频率，目的是通过描述样本数据分布的特征，从而估计总体的分布情况．

2．频率分布直方图中，每个小长方形的面积表示什么含义？ 提示：表示相应各组的频率．

[研一题]

[

例

1]

已

知

一

个

样

本

：

30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26,28,25,21,23,25,27,29,25,28.

(1)列出样本的频率分布表．

(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图．

(3)根据频率分布直方图，估计总体出现在23～28内的频率是多少？ [自主解答] (1)计算极差：30－21＝9. 决定组距和组数：取组距为2. 91

∵＝4，∴共分5组． 22

决定分点，使分点比数据多一位小数．

并把第1小组的分点减小0.5，即分成如下5组： 20．5～22.5,22.5～24.5,24.5～26.5， 26．5～28.5,28.5～30.5. 列出频率分布表如下：

分组 20.5～22.5 22.5～24.5 24.5～26.5 26.5～28.5 28.5～30.5 合计 (2)作出频率分布直方图如下：

个数累计 正 20 频数 2 3 8 4 3 20 频率 0.1 0.15 0.4 0.2 0.15 1.00 fi Δxi0.05 0.075 0.2 0.1 0.075

取各小长方形上的中点并用线段连接就构成了频率分布折线图，如上图． (3)由频率分布表和频率分布直方图观察得：

样本值出现在23～28之间的频率为0.15＋0.40＋0.2＝0.75，所以可以估计总体中出现在23～28之间的数的频率约为0.75.

[悟一法]

绘制频率分布直方图的具体步骤： (1)求极差：

一组数据的最大值与最小值的差称为极差． (2)决定组距与组数：

数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越多，当样本容量不超过120时，按照数据的多少，常分成5～12组．为方便起见，组距的选择应力求“取整”．

(3)将数据分组：

通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间． (4)列频率分布表：

计算各小组的频率，作出频率分布表．

说明：制作好频率分布表以后，可利用各组的频率之和为1来检验该表是否正确． (5)画出频率分布直方图：

依据频率分布表画出频率分布直方图．

[通一类]

1．下表给出了某校从500名12岁男孩中随机抽选出的120人的身高情况(单位：cm)： 身高范围 人数 身高范围 人数 [122,126) 5 [142,146) 20 [126,130) 8 [146,150) 11 [130,134) 10 [150,154) 6 [134,138) 22 [154,158) 5 [138,142) 33 (1)列出样本频率分布表； (2)画出频率分布直方图；

(3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比． 解：(1)样本频率分布表如下所示：

分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 合计

(2)频率分布直方图如图所示．

频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120 频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04 1.00