内容发布更新时间 : 2024/5/13 22:16:17星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

初高中数学衔接教材第一讲 数与式的运算教师版

导语：高中数学五本必修教材（必修一~必修五），选修教材因文理不同，高一上期一般学必修一、四；下期学必修五、三、二的直线和圆部分；高二上期学必修二，下期学习选修系列。高一以代数为主，高二以几何为主，但高中数学有四大思想方法，做题始终贯穿：①数形结合；②分类讨论；③转化与化归；④函数与方程。必修一共两章：集合和函数。集合很抽象，而函数又需要用到初中许多基础知识，所以需要先复习2课时的初中知识，13课时预计上到函数中高一的特殊函数：指数函数

一、绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

?a,a?0,?|a|??0,a?0,

??a,a?0.?绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 例1（1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.

（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若1?c?2，则c＝________. 练习1下列叙述（命题）正确的是.

①若a?b，则a?b②若a?b，则a?b ③若a?b，则a?b④若a?b，则a??b

/*命题：可以判断对错的陈述句。对的命题称为：真命题；错的命题称为：假命题。*/ 例2 解不等式：x?1?x?3＞4．

练习2化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

二、二次根式

1、定义：一般地，形如a(a?0)的代数式叫做二次根式．其中，根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如3a?a2?b?2b，a2?b2等.而2x?22x?1，x2?2xy?y2，a2等是有理式． 2 2、分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，等等．一般地，3a与a，3?6与3?6，23?32与23?32，ax与x，ax?by与ax?by，ax?b与ax?b互为有理化因式．

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次

根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程.比如，

21? ； ? ；x?x2?1? .

1?5n?n?1?a,a?0,2 3、二次根式a2的意义a?a??

?a,a?0.?例3 将下列式子化为最简二次根式：

6（1）12b （2）a2b(a?0) （3）4xy(x?0)

例4 计算：3?(3?3)．

例5试比较下列各组数的大小：

（1）12?11和11?10； （2）

【点评】高中阶段的“比大小”方法：①比较法：?2和22－6. 6?4?作差:与0比比（符号确号确定的前）?作商:与1；②假设法（但不能写在试

卷上，只能帮助得到答案）：实质分析法/反证法；③构造函数（第二章中学习）

例6 化简：(3?2)2004?(3?2)2005．

2例7化简：（1）9?45； （2）x?1?2(0?x?1)． 2x

练习3 1．填空： （1）1?3＝；

1?35x?1?x?1x?1?x?1，则??． 2x?1?x?1x?1?x?12（2）若(5?x)(x?3)?(x?3)5?x，则x的取值范围是；

（3）若x?2．等式xx成立的条件是． ?x?2x?2（A）x?2 （B）x?0 （C）x?2 （D）0?x?2

a2?1?1?a23．若b?，则a?b的值为．

a?14．比较大小：2－35－4（填“＞”，或“＜”）．

三、因式分解

例8将下列代数式因式分解：

（1）x?16? 、4x?4x?1? ； （2）x?1? 、x-1? ；

（3）2x?x? 、x(x?y)(a?b)?y(y?x)(b?a)? ； （4）x?5x?6? 、x?5x?6? 、x?5x?6? ；

222332232x2?5x?6? 、2x2?3x?1? 、4m2?12m?9? ；

（5）x2??a?1?x?a? 、2x?ax?a? ；

2212x2?xy?6y2? 、x2?(a?b)xy?aby2= ；

（6）x?4x?1? 、2x?4x?1? ； （7）x?3x?x?1? 、x?5x?7x-2? .

【点评】常用的化简方法：

①公式法：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式

（1）平方差公式

（2）完全平方公式 （3）立方和公式 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3；

（4）立方差公式 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3； （5）三数和平方公式 (a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ac)； （6）两数和立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3； （7）两数差立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3．

323222 /*师生交流：哪些需要证明*/ ②提取公因式；

③十字相乘——适用二次式； ④求根公式法——适用二次式； ⑤待定系数法——适用高次式； ⑥竖式除法（短除法）：先猜根，再用竖式除法——适用高次式.

例9 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a?b?c的值．

【点评】①目标意识；②联想；③配凑

练习4 1.填空： （1）

222121211a?b?(b?a)（ ）； 942322（2）(4m?)?16m?4m?()；

（3）(a?2b?c)?a?4b?c?()．

22222. 若x?ax?b??x?2??x?4?则a? ，b? .

23. 把下列各式因式分解：

2（1）x?7x?10? 、2y?4y?6? 、 22x-4x?1?2x?3x?1? 、 （2） 、

2（3）a?8ab?33b? 、a?5ab?6ab? 、

22322?q?2p??3? 、 （4）?a?b??8?a?b??20? 、6?2p?q??1122

b4?2b2?8= 、(4x2?5x)2?2(4x2?5x)?3? .

【反思收获】