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第二节 参数方程
[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．
(对应学生用书第161页)
[基础知识填充]
1．曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数
??x＝f?
?y＝g?
t，t
并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这
条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数． 2．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，
??x＝f求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么?
?y＝g?
t，t
就是曲线的参数方程．
3．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹 直线 普通方程 参数方程 ??x＝x0＋tcos α，???y＝y0＋tsin α?x＝rcos θ，????y＝rsin θ??x＝acos φ，???y＝bsin φy－y0＝tan α(x－x0) x2＋y2＝r2 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2圆 椭圆 (t为参数) (θ为参数) (φ为参数) 温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
??x＝f(1)参数方程?
??y＝gt，t
中的x，y都是参数t的函数．( )
??x＝x0＋tcos α，
(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为?
?y＝y0＋tsin α?
(t为参数)．参
→
数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量．( )
??x＝2cos θ，
(3)方程?
?y＝1＋2sin θ?
表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )
??x＝2cos t，
(4)已知椭圆的参数方程?
?y＝4sin t?
π
(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，3
点O为原点，则直线OM的斜率为3.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
??x＝－1＋cos θ，
2．(教材改编)曲线?
?y＝2＋sin θ?
(θ为参数)的对称中心( ) B．在直线y＝－2x上 D．在直线y＝x＋1上
A．在直线y＝2x上 C．在直线y＝x－1上
??x＝－1＋cos θ，
B [由?
??y＝2＋sin θ，
2
2
??cos θ＝x＋1，
得???sin θ＝y－2，
所以(x＋1)＋(y－2)＝1.
曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．] 2
?x＝2＋t，?2
3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C：?
2
y＝1＋t??2为________．
(t为参数)的普通方程
x－y－1＝0 [由x＝2＋22
t，且y＝1＋t， 22
消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.]
4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线
?x＝t，
C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为?
?y＝22t参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．
(2，－4) [由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2.①
2
(t为
?x＝t， 由?
?y＝22t，
2
消去t得y＝8x.②
2
??x＝2，
联立①②得?
?y＝－4，?
即交点坐标为(2，－4)．]
5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为1
x＝1＋t，?2??3??y＝2t
??x＝cos θ，
(t为参数)，椭圆C的参数方程为?
?y＝2sin θ?
(θ为参数)．设
直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长. 【导学号：00090372】 [解] 椭圆C的普通方程为x＋＝1. 2分
41x＝1＋t，?2?
将直线l的参数方程?
3y＝t??2＋16t＝0，
2
y2
y?1?22
代入x＋＝1，得?1＋t?＋
4?2?
2
?3?2
?t??2?
4
＝1，即7t2
8分 10分
1616
解得t1＝0，t2＝－，所以AB＝|t1－t2|＝.
77
(对应学生用书第162页)
参数方程与普通方程的互化 ??x＝a－2t，
已知直线l的参数方程为?
??y＝－4t??x＝4cos θ，
?
?y＝4sin θ?
(t为参数)，圆C的参数方程为
(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． [解] (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 圆C的普通方程为x＋y＝16. (2)因为直线l与圆C有公共点，
|－2a| 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，
5 解得－25≤a≤25.
8分 10分
2
2
2分 4分