内容发布更新时间 : 2024/10/19 13:25:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

y?x?b解：（I）由?消去y得:x2?(2b?4)x?b2?0 ?2?y?4x22因直线y?x?b与抛物线y2?4x相切???(2b?4)?4b?0?b?1

x2c22a2?b2122?y2?1.（II）当L与xe??,a?b?c,??,?a?2，故所求椭圆方程为2a2a2212422轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x?(y?)?()

331242?2x?(y?)?()?x?0 ?当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x?y?1,由解得33??22?y?1?x?y?1?即两圆相切于点（0，1）

因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下。 当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）

22若直线L不垂直于x轴，可设直线L：y?kx?1 31?y?kx??3由?消去y得:(18k2?9)x2?12kx?16?0 ?2?x?y2?1??212k?x?x?12?18k2?9 又因为TA?(x1,y1?1),TB?(x2,y2?1), 记点A(x1,y1)、B(x,y),则??22?xx??1612?18k2?9?44所以TA?TB?x1x2?(y1?1)(y2?1)?x1x2?(kx1?)(kx2?)

33416?16412k16?(1?k2)x1x2?k(x1?x2)??(1?k2)??k???0 223918k?9318k?99∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）,故在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.

◆方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角。

x2y22例题2：如图，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率是，A1,A2分别是椭圆C的左、右两个

ab2112???2。 顶点，点F是椭圆C的右焦点。点D是x轴上位于A2右侧的一点，且满足

A1DA2DFD（1）求椭圆C的方程以及点D的坐标；

（2）过点D作x轴的垂线n，再作直线l:y?kx?m yl与椭圆C有且仅有一个公共点P，直线l交直线n于点 QQ。求证：以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定 P点的坐标。

解：（1）A1(?a,0),A2(a,0),F(c,0)，设D(x,0)，由1111??2D，又x?A?2有OFD?1，FA21x?ax?aA1DA2D?x?c?1,?x?c?1，于是

11??2 c?1?ac?1?ac2?c?1?(c?1?a)(c?1?a)，又??a?2c， a2?c?1?(c?1?2c)(c?1?2c)

nx2?c?c?0，又c?0，?c?1,?a?2,b?1，椭圆C:?y2?1，且D(2,0)。

2?y?kx?mx2?22（2）方法1：Q(2,2k?m)，设P(x0,y0)，由?x??(kx?m)?1 22??y?1?22222?x?2(kx?m)?2?(2k?1)x?4kmx?2m2?2?0，

2由于??16km?4(2k?1)(2m?2)?0?2k?m?1?0?m?2k?1（*），

22222222?4km?2km由（*）?2km2k而由韦达定理：2x0?， ?x????02222k?12k?1mm2k212k1?y0?kx0?m???m?，?P(?,)，

mmmm设以线段PQ为直径的圆上任意一点M(x,y)，由MP?MQ?0有

2k12k12k(x?)(x?2)?(y?)(y?(2k?m))?0?x2?y2?(?2)x?(2k?m?)y?(1?)?0由对

mmmmm称性知定点在x轴上，令y?0，取x?1时满足上式，故过定点K(1,0)。

法2：本题又解：取极值，PQ与AD平行，易得与X轴相交于F（1,0）。接下来用相似证明PF⊥FQ。

设P（x0,y0）,易得PQ切线方程为x0x?2y0y?2;易得D(0,1?x0) y0设PH?FD

PH?y0;HF?1?x0;DQ?1?x0;DF?1;y0HFDQ?,固?PHF相似于?FDQ，易得?PFQ?900PHFD问题得证。

x2y22练习：（10广州二模文）已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的右焦点F2与抛物线C2:y?4x的焦点重

ab5合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，|PF2|?.圆C3的圆心T是抛物线C2上的动点,圆C33与y轴交于M,N两点，且|MN|?4. （1）求椭圆C1的方程；

（2）证明:无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点.

2（1）解法1：∵抛物线C2:y?4x的焦点坐标为(1,0)，∴点F2的坐标为(1,0).

∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1(?1,0)，抛物线C2的准线方程为x??1.设点P的坐标为(x1,y1)，由抛物线的定义可知PF2?x1?1,∵PF2?得y1?52582,∴x1?1?，解得x1?.由y1?4x1?，且y1?0,

333326. 3x2y2?22?6?. 在椭圆C1:2?2?1(a?b?0)中， ∴点P的坐标为?,ab33??2222c?1.2a?|PF1|?|PF2|?(?1)2?(6?0)2?(?1)2?(6?0)2?4

3333x2y222??1. ∴a?2,b?a?c?3.∴椭圆C1的方程为432解法2：∵抛物线C2:y?4x的焦点坐标为(1,0)，∴点F2的坐标为(1,0).∴ 抛物线C2的准线方程为

x??1.设点P的坐标为(x1,y1)，由抛物线的定义可知PF2?x1?1,

525822∵PF2?,∴x1?1?，解得x1?.由y1?4x1?，且y1?0得y1?6. 33333x2y222∴点P的坐标为(,6).在椭圆C1:2?2?1(a?b?0)中，c?1.

ab33??c?1,?2x2y222??1. 由?a?b?c,解得a?2,b?3.∴椭圆C1的方程为43?424?2?2?1.9b?9a（2）证法1: 设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r， ∵ 圆C3与y轴交于M,N两点，且|MN|?4,

∴ |MN|?2r?x0?4.∴r?2224?x0. 222∴圆C3的方程为(x?x0)?(y?y0)?4?x0.???

22∵ 点T是抛物线C2:y?4x上的动点,∴ y0?4x0(x0?0).∴x0?12y0. 412x2y0代入??? 消去x0整理得:(1?)y0?2yy0?(x2?y2?4)?0.????

24方程????对任意实数y0恒成立，

把x0??x?1?2?0,??x?2,∴??2y?0, 解得?

?y?0.?x2?y2?4?0.

??

x2y2??1上, ∵点(2,0)在椭圆C1:43∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点?2,0?.

证法2: 设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r，

22∵ 点T是抛物线C2:y?4x上的动点,∴ y0?4x0(x0?0).

∵ 圆C3与y轴交于M,N两点，且|MN|?4, ∴ |MN|?2r?x0?4.∴ r?2224?x0. 222∴ 圆C3的方程为(x?x0)?(y?y0)?4?x0.?????

222令x0?0,则y0?4x0?0,得y0?0.此时圆C3的方程为x?y?4.

?x2?y2?4,?x??2,?2由?x2解得 ?yy?0.?1,???43?22∴圆C3:x?y?4与椭圆C1的两个交点为?2,0?、??2,0?.

分别把点?2,0?、??2,0?代入方程?????进行检验，可知点?2,0?恒符合方程?????，点??2,0?不恒符合方程?????.

∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点?2,0?.