内容发布更新时间 : 2025/1/3 18:06:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第七章 线性变换

§7.1 线性映射

1．令

=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射

线性映射？

（1）

哪些是R3到自身的

(?) = ?+ ? ，?是R3的一个固定向量．

(?) = (2x1–x2 + x3 ，x2 + x3 ，–x3)

（2）

（3）

(?) =（x12 ，x22 ，x32）．

（4） ?() =（cosx1，sinx2，0）．

2．设V是数域F上一个一维向量空间．证明V到自身的一个映射 映射的充要条件是：对于任意

是线性

V，都有 ( ) = a ，这里a是F中一个定数．

3．令Mn (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间．取定A Mn (F).

对任意

X Mn (F)，定义 (X) = AX–XA．

(i) 证明： 是Mn (F)是自身的线性映射。 (ii) 证明：对于任意X，Y Mn (F)， (Y) ．

4．令F4表示数域F上四元列空间，取

(XY) =

(X)Y+X

A=

对于

F4，令 ( ) = A ．求线性映射 的核和像的维数．

是V到W的一个

s+1

5．设V和W都是数域F上向量空间，且dimV = n．令 线性映射．我们如此选取V的一个基： 得

1

1

，…，

s

， ，…，

n，使

，…，

s

，是Ker(

(

s+1

)的一个基．证明： )，…，

(

)组成Im(

)的一个基；

（i）

n（ii）dim Ker(

6．设

) + dim Im(

) = n.。

是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射．W1，W2是V的

W2．证明：

有逆映射的充要条件是V =

(W1)

子空间，并且V = W1 (W1) ．

§7.2 线性变换的运算

1．举例说明，线性变换的乘法不满足交换律． 2．在F[x]中，定义

：f (x)

f’(x) ，

：f (x)

这里f’(x)表示f(x)的导数．证明, 意正整数n都有

n

xf (x) ，

, 都是F[x]的线性变换，并且对于任

n-1

–

n

= n

来

3．设V是数域F上的一个有限维向量空间．证明，对于V的线性变换 说，下列三个条件是等价的：

（i） 是满射； (ii)Ker(

) = {0}; (iii) 非奇异．

当V不是有限维时，(i)，(ii)是否等价？

4．设 但

k

L (V)， V，并且 ， ( )，…，

k-1

( )都不等于零，

( ) = 0．证明： ， ( )，…，

k-1

( ) 线性无关．

5．

L (V) ．证明

(1) Im(

) )

Ker(

)当且仅当

2

= ；

(2) Ker( Ker(

2

)

2

Ker(

3

)

3

…；

(3) Im(

n

) Im( ) Im( )

…．

6．设F = { (x1，x2 ，…，xn ) | xi F }是数域F上n 维行空间．定义

(x1，x2 ，…，xn ) = (0，x1 ，…，xn-1 ) ． (i) 证明：

是Fn的一个线性变换，且

n

= ；

(ii) 求Ker( )和Im(

) 的维数．

§7.3 线性变换和矩阵

1．令Fn[x]表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间，

：f (x)

f’(x) ，求?关于以下两个基的矩阵：

(1) 1，x ，x2 ，…，xn，