内容发布更新时间 : 2024/5/23 15:45:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第七章 线性变换
§7.1 线性映射
1．令
=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射
线性映射？
（1）
哪些是R3到自身的
(?) = ?+ ? ，?是R3的一个固定向量．
(?) = (2x1–x2 + x3 ，x2 + x3 ，–x3)
（2）
（3）
(?) =（x12 ，x22 ，x32）．
（4） ?() =（cosx1，sinx2，0）．
2．设V是数域F上一个一维向量空间．证明V到自身的一个映射 映射的充要条件是：对于任意
是线性
V，都有 ( ) = a ，这里a是F中一个定数．
3．令Mn (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间．取定A Mn (F).
对任意
X Mn (F)，定义 (X) = AX–XA．
(i) 证明： 是Mn (F)是自身的线性映射。 (ii) 证明：对于任意X，Y Mn (F)， (Y) ．
4．令F4表示数域F上四元列空间，取
(XY) =
(X)Y+X
A=
对于
F4，令 ( ) = A ．求线性映射 的核和像的维数．
是V到W的一个
s+1
5．设V和W都是数域F上向量空间，且dimV = n．令 线性映射．我们如此选取V的一个基： 得
1
1
，…，
s
， ，…，
n，使
，…，
s
，是Ker(
(
s+1
)的一个基．证明： )，…，
(
)组成Im(
)的一个基；
（i）
n（ii）dim Ker(
6．设
) + dim Im(
) = n.。
是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射．W1，W2是V的
W2．证明：
有逆映射的充要条件是V =
(W1)
子空间，并且V = W1 (W1) ．
§7.2 线性变换的运算
1．举例说明，线性变换的乘法不满足交换律． 2．在F[x]中，定义
：f (x)
f’(x) ，
：f (x)
这里f’(x)表示f(x)的导数．证明, 意正整数n都有
n
xf (x) ，
, 都是F[x]的线性变换，并且对于任
n-1
–
n
= n
来
3．设V是数域F上的一个有限维向量空间．证明，对于V的线性变换 说，下列三个条件是等价的：
（i） 是满射； (ii)Ker(
) = {0}; (iii) 非奇异．
当V不是有限维时，(i)，(ii)是否等价？
4．设 但
k
L (V)， V，并且 ， ( )，…，
k-1
( )都不等于零，
( ) = 0．证明： ， ( )，…，
k-1
( ) 线性无关．
5．
L (V) ．证明
(1) Im(
) )
Ker(
)当且仅当
2
= ；
(2) Ker( Ker(
2
)
2
Ker(
3
)
3
…；
(3) Im(
n
) Im( ) Im( )
…．
6．设F = { (x1，x2 ，…，xn ) | xi F }是数域F上n 维行空间．定义
(x1，x2 ，…，xn ) = (0，x1 ，…，xn-1 ) ． (i) 证明：
是Fn的一个线性变换，且
n
= ；
(ii) 求Ker( )和Im(
) 的维数．
§7.3 线性变换和矩阵
1．令Fn[x]表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间，
：f (x)
f’(x) ，求?关于以下两个基的矩阵：
(1) 1，x ，x2 ，…，xn，