内容发布更新时间 : 2025/2/8 17:10:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1．3函数的基本性质

1．3.1 单调性与最大(小)值

第1课时 函数的单调性

[学习目标] 1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)3.会求一些具体函数的单调区间．(重点)

一、增函数和减函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意条件 两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时 都有f(x1)＜f(x2) 结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 都有f(x1)＞f(x2) 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图示 二、函数的单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数在定义域上都具有单调性．( )

(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”．( ) (3)若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(0)＞f(1)．( )

【答案】 (1)× (2)× (3)√

2．函数f(x)的图象如图1-3-1所示，则( )

图1-3-1

A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数 B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数 C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数 D．函数f(x)在[2，4]上是增函数

【解析】 在区间[－1，2]上，函数f(x)的图象由左至右“上升”，即在区间[－1，2]上，f(x)随着x的增大而增大，∴为增函数．

【答案】 A

3．函数y＝－x2的单调减区间是( )

A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)

【解析】 画出y＝－x2在R上的图象，可知函数在[0，＋∞)上递减．

【答案】 A

4．若函数f(x)在R上是减函数，且f(a)＞f(b)，则a与b的大小关系是________． 【解析】 由减函数的定义知a＜b. 【答案】 a＜b

预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中

问题1 问题2 问题3

问题4

求函数的单调区间 求下列函数的单调区间并指出其在单调区间上是增函数还是减函数． 1

(1)y＝3x－2；(2)y＝－；(3)y＝－x2＋2x＋3.

x

【解】 (1)函数y＝3x－2的单调区间为R，它在R上是增函数．

1

(2)函数y＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为增

x函数．

(3)函数y＝－x2＋2x＋3的对称轴为x＝1，并且开口向下，其单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为(1，＋∞)，其在(－∞，1]上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．

本题中求函数单调区间的方法是图象法，除这种方法外，求单调区间时还可以使用定义法，也就是由增、减函数的定义求单调区间．求出单调区间后，若单调区间不唯一，中间用“，”隔开，如本题第(2)小题．

函数单调性的判定与证明 (1)(2014·青岛高一检测)定义在R上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有A．函数f(x)先增后减 B．函数f(x)先减后增 C．函数f(x)是R上的增函数 D．函数f(x)是R上的减函数

1

(2)求证函数f(x)＝2在(0，＋∞)上是减函数．

x

【思路探究】 (1)由于a与b的大小不定，因而需讨论它们的大小并结合已知条件来

f（a）－f（b）

＞0，则必有( )

a－b

判断．

(2)作差―→变形―→判断符号―→给出结论．

f（a）－f（b）【解析】 (1)由＞0知，当a＞b时，f(a)＞f(b)；当a＜b时，f(a)＜f(b)，

a－b所以函数f(x)是R上的增函数．

【答案】 C

（x2－x1）（x2＋x1）

(2)对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝.∵02x21x2

2

＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x2＋x1＞0，x21x2＞0，

∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 1

∴函数f(x)＝2在(0，＋∞)上是减函数．

x

2．判断函数的单调性除用定义判断外，还可用图象法、直接法等．

(1)图象法：先作出函数图象，利用图象直观判断函数的单调性．

(2)直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接判断它们的单调性．

f（a）－f（b）

题(1)中，若将“＞0”变为“(a－b)(f(a)－f(b))＜0”，则函数f(x)的增

a－b减性如何？

【解】 当a＞b，时f(a)＜f(b)；当a＜b时，f(a)＞f(b)，所以函数f(x)是R上的减函数．

函数单调性的应用 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上单调，求实数a的取值范围． 【思路探究】 本题由二次函数的单调性求参问题．二次函数在某一区间上的单调性取决于对称轴，所以需先确定函数图象的对称轴．

【解】 函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．

由图象可知函数在(－∞，a]和(a，＋∞)上分别单调，因此要使函数f(x)在区间[1，2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递增；当a≥2时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递减)，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．

1．已知函数的单调性求参数的取值范围的方法：视参数为已知数，依据函数在图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．

2．依据常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解．

若一函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．