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2019-2020年中学数学竞赛讲座及练习：第1讲 有理数的巧算

有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 1．括号的使用

在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1 计算： (1)?8?6??47?18.75?1??2?0,46 ????15?25???2??1??31998(?2)?(?1)??12??????????2???

?4?1(?1)?????1?5?4(2)

注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．

例2 计算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)·n．

例4 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化． 2．用字母表示数

我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：

(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4

=100-2．

这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为

(a+b)(a-b)=a-ab+ab-b=a-b．

于是我们得到了一个重要的计算公式

(a+b)(a-b)=a-b， ①

这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．

例5 计算 3001×2999的值．

2

2

2

2

2

2

2

2

n+1

例6 计算 103×97×10 009的值．

例7 计算：

例8 计算：(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)．

例9 计算：?1?

2

4

8

16

32

24690

123462?12345?12347??1??1?1????22??32?1??1?? 1?1??2??2??9??10?