概率论与数理统计试题库

内容发布更新时间 : 2024/3/29 2:44:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

?0,x??1?1,?1?x?2??4即 F(x)??

3?,2?x?3?4??1,x?31?11?P?X???F()?,

2?24?5?53311?3P??X???F()?F()???,

2?22442?2P?2?X?3??F(3)?F(2)?P?X?2??1?313??。 4242.设随机变量X具有概率密度

?kx,0?x?3,?xf?x???2?,3?x?4,

2?0.其它??1?确定常数k;?2?求X的分布函数F?x?;?3?求P??1?X?7???。 2?答:?1?由?f?x?dx?1,得

??4?1x?k? 解得 。 kxdx?2?dx?1??0?3?62??3??2?X的分布函数为

0,x?0,?xx?0?x?3,??06dx,?F?x???3 x?xx???dx???2??dx,3?x?4,0632????1,x?4.?0,x?0,?2?x,0?x?3,??12即 F?x??? 2??3?2x?x,3?x?4,?4?1,x?4.??7?7?41???3? P?。 ??1?X??F?F1??????2???486

3.已知随机变量?有分布密度

?ax?b,1?x?3 P(x)=?

0,其他?又知P{2

解: ??(ax?b)dx?2?(ax?b)dx (1)

2132 又 ?(ax?b)dx?1 (2)

????5解之得:a?b?3a?2b

2 4a+2b=1

1?a???3 ??1?b???6?4.设随机变量X服从指数分布,其概率密度为

?1?x/??e,x?0,f(x)??? 其中??0,

??0,x?0.求E(X),D(X)。

??1答:E(X)??xf(x)dx??xe?x/?dx

??0? ??xe??x/????x/??edx??, 0?0?E(X2)??x2f(x)dx??x2??01?e?x/?dx

??x2e?x/?????2xe?x/?dx?2?2, 002于是 D(X)?E(X2)??E(X)??2?2??2??2. 5.设随机变量X具有概率密度

?x?,0?x?4, fX?x???8

??0,其它,7

求随机变量Y?2X?8的概率密度。

答:分别记X,Y的分布函数为FX?x?,FY?y?,

y?8???y?8?则FY?y??P?Y?y??P?2X?8?y??P?X??。 ??FX?2???2?将FY?y?关于y求导数,得Y?2X?8的概率密度为

?y?8??y?8? fY?y??fX????

22?????1?y?8?1y?8??????8?2?2,0??4,

2??0,其它?y?8???32,8?y?16, ??0,其它.6.某人独立射击400次,命中率为0.015。试求此人至少命中2次的概率。

解:因为是独立射击,所以服从二项分布此人在400次独立射击中至少命中2次的概率=1-此人在400次独立射击中只击中1次的概率-此人在400次独立射击中只击中0次的概率。所以有

P(此人在400次独立射击中只击中1次)=p(??1)= C400P(1?p)1400?1

P(此人在400次独立射击中只击中0次)=p(??0)= C400p00(1?p)400?0?p?1-p(??1)-p(??0)

=1-0.00240467267584-0.00236860258570 =0.99522672473846

7.设随机变量(X,Y)具有概率密度

?3? f(x,y)??2x3y2??,1?y?x,x?1, x0,其它.1). XY求数学期望E(Y),E(8

E(Y)?????????yf(x,y)dydx????1答:

?3??133?1x??dydx?lny11dx3?x2x3y?12xxxlnx3?13?3lnx?dx???dx??3?2x2?4x3??121x

??1?x133E()???f(x,y)dydx??dx?143dy?.

????xy1XY5x2xy8.设总体X在?a,b?上服从均匀分布,a,b未知. X1,X2,?,Xn是来自X的样本, 求a,b的矩估计量.

答:?1?E(X)?(a?b)/2,

?2?E(X2)?D(X)??E(X)2??(b?a)2/12?(a?b)2/4.

a?b?2?1,?即 ? 2b?a?12(???).21?解得

a??1?3(?2??12),b??1?3(?2??12).

分别以A1,A2代替?1,?2,得到a,b的矩估计量分别为:

^a?A1?b?A1???3(A2?A12)?X?^3n2?(Xi?X), ni?13(A2?A12)?X?3n2?(Xi?X). ni?19.设总体X的均值?及方差?2都存在,且?2?0.但?,?2均未知.又设

X1,X2,?,Xn是来自X的样本. 求?,?2的矩估计量.

?1?E(X)??,?答:由 ? 2222????E(X)?D(X)?E(X)????.?2????1,解得 ?22 ?????21.?分别以A1,A2代替?1,?2,得到?,?2的矩估计量分别为:

9

??A~~1?X,

221nn2?A2?A?1?Xi2?X2?1?(Xi?X). ?ni?1ni?110.有一批糖果.现从中随机地取16袋,称得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496

设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,求总体均值?的置信水平为0.95的置信区间。

答:由于1???0.95,?/2?0.025,n?1?15,t0.025(15)?2.1315, 由数据得x?503.75,s?6.2022.

则得均值?的一个置信水平为0.95的置信区间为 (503.75±

6.2022?2.1315), 16即 (500.4,507.1)

11.为研究某一化学反应过程中,温度x(℃)对产品得率Y(﹪)的影响,测得数据如下.

温度x(℃) 得率Y(﹪) 100 40 110 50 120 55 130 60 140 65 这里自变量x是普通变量,Y是随机变量,求Y关于x的线性回归方程。 答:列表如下; x 100 110 120 130 140 y x2 y2 1600 2500 3025 3600 4225 xy 40 50 55 60 65 10000 12100 14400 16900 19600 4000 5500 6600 7800 9100 10

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