内容发布更新时间 : 2024/5/20 14:46:48星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
作业1（随机过程的基本概念）
1、对于给定的随机过程{X(t),t?T}及实数x，定义随机过程
?1,X(t)?x，t?T Y(t)???0,X(t)?x请将{Y(t),t?T}的均值函数和相关函数用{X(t),t?T}的一维和二维分布函数表示。 解：
E(Y(t))?P(X(t)?x)?Ft(x)RY(s,t)?E(Y(s)Y(t))?P(Y(s)Y(t)?1)?P(X(s)?x1,X(t)?x2)?Fs,t(x1,x2)
2、设Z(t)?X?Yt,?t?R，其中随机变量X，Y相互独立且都服从N(0,?2)，证明
{Z(t),?t?R}是正态过程，并求其相关函数。
?Z(t1)??1t1??????X????提示：注意到??????Y?即可证得{Z(t),?t?R}是正态过程。
?Z(t)??1t???n??n??按照相关函数的定义可得RZ(s,t)??2(1?st)
3、设{W(t),t?0}是参数为?的Wiener过程，求下列过程的协方差函数： （1）{W(t)?At,t?0}，其中A为常数；
（2）{W(t)?Xt,t?0}，其中X?N(0,1)，且与{W(t),t?0}相互独立；
2
t),t?0}，其中a为正常数； a21（4）{tW(),t?0}
t（3）{aW(提示：Wiener过程就是指Brown运动。 （1）令Z(t)?W(t)?At,t?0，由定义求得
E(Z(t))?At具体在求的时候，可以先假设s?t，然后再求（下同）。 （2）令Z(t)?W(t)?Xt,t?0，由定义求得
CZ(s,t)?cov(Z(s),Z(t))?(代入Z(t)的形式)=?2min｛s，t｝
E(Z(t))?0CZ(s,t)?cov(Z(s),Z(t))?(代入Z(t)的形式)=?min｛s，t｝+st（3）Z(t)?aW(2
t),t?0 2a
E(Z(t))?01tCZ(s,t)?cov(Z(s),Z(t))?(代入Z(t)的形式)=?2min｛s，t｝（4）Z(t)?tW(),t?0
E(Z(t))?02CZ(s,t)?cov(Z(s),Z(t))?(代入Z(t)的形式)=?min｛s，t｝
作业2 Poisson过程
1、设{N(t),t?0}是强度为?的Poisson过程，令Y(t)?N(t?L)?N(t)，其中L>0为常数，求{Y(t),t?0}的一维分布，均值函数和相关函数。 提示：
Y(t)?N(t?L)?N(t)~P(?L)，从而得到{Y(t),t?0}的一维分布（写出分布列即可）；
由Y(t)?N(t?L)?N(t)~P(?L)，易得E(Y(t))??L
相关函数的稍微复杂点，但方法就是求期望，没特别的地方。给出关键步骤，其他自己补齐。
RY(s,t)?E(Y(s)Y(t))?(代入Y（t）形式展开)?RN(s?L,t?L)?RN(s?L,t)?RN(s,t?L)?RN(s,t)??2(s?L,t?L)??min(s?L,t?L)??2t(s?L)??min(t,s?L)??2s(t?L)??min(s,t?L)??2st??min(s,t)22???L??(L?|t?s|),当|t?s|?L??22???L,当|t?s|?L,
2、设{N(t),t?0}是强度为?的Poisson过程，证明对于任意的0?s?t，
skskP(N(s)?k|N(t)?n)?Cn()(1?)n?k,k?0,1,?,n
tt证明：
P(N(s)?k|N(t)?n)P(N(s)?k，N(t)?n)P(N(t)?n）P(N(s)?N(0)?k，N(t)?N(s)?n?k)?P(N(t)?n）P(N(s)?N(0)?k)P(N(t)?N(s)?n?k)?P(N(t)?n）=?(由增量服从Possion分布，代入分子分母)整理?sksk?Cn()(1?)n?k,k?0,1,?,ntt
3、设{N(t),t?0}是强度为?的Poisson过程，求 （1）{N(t),t?0}的一维特征函数；
（2）对于任意的0?s?t，求P(N(s)?m,N(t)?m?n)。 提示：（1）按照特征函数的定义直接求 （2）注意到
P(N(s)?m,N(t)?m?n)即可求得。 =P(N(s)?m,N(t)-N(s)=n)=P(N(s)?m）?P(N(t)-N(s)=n)
作业3（更新过程）
1 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号新电池。如果电池的寿命服从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率是多少？ 若没有备用电池，当收音机失效时，立即在市场上采购同型号电池，获得新电池的时间服从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的情况下，更换电池的速率。
解：设N(t)表示在[0,t]内失效的电池数量，则在长时间工作的情况下，电池更新的速率为
limt??601N(t)1?而???t?dt?45(小时)
3030t?所以limt??N(t)11?= t?45
2 设{N(t),t?0}是更新过程，更新间距Xi,i?1,2,?，MN(t)??t是它的更新函数，求
E[exp(?t?Xk)],t?0。
k?1n提示：由于更新函数和更新过程唯一确定，于是由MN(t)??t是它的更新函数，可知该更新过程为Possion过程。从而更新间距Xi,i?1,2,?相互独立同参数为?的指数分布 那么
E[exp(?t?Xk)]=?E[exp(?tXk)]k?1k?1nnE[exp(?tXk)]=?e?tx?e?xdx??=0???+t
然后代入上式即可答案（
?n）?+t作业4（Markov过程）
1、设{Xn,n?0}是齐次Markov链，其状态空间E?{a,b,c}，一步转移概率为矩阵为
?1/21/41/4??2/301/3? ????3/52/50??设初始分布为P(X0?a)?P(X0?b)=P(X0?c)?1/3 求（1）P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c)； （2）P(Xn?2?c|Xn?b)。
提示：（1）
P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c)=P(X=a)?P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c|X=a)?P(X=b)?P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c|X=b) ?P(X=c)?P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c|X=c)?? 对于
P(X=a)?P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c|X=a)?P(X=a)?P(X1?b|X=a)?P(X2?c|X1?b)?P(X3?a|X2?c)?P(X4?c|X3?a)?代入数据计算=?
（2）
P(Xn?2?c|Xn?b)=P(X2?c|X0?b)=P(X2?c，X1?a|X0?b)?P(X2?c，X1?b|X0?b)?P(X2?c，X1?c|X0?b)对于P(X2?c，X1?a|X0?b)?P(X1?a|X0?b)?P(X2?c|X1?a)?代入数据类似求其他
当然也可以通过求一步转移概率矩阵的平方，然后找到对应元素求得。
2、考虑一个质点在直线上作随机游动，如果在某一个时刻质点位于状态i，则下一步将以概率p(0?p?1)向前移动到达i?1，或以q?1?p向后移动到达i?1，以Xn表示n时刻质点的位置，且在0时刻从原点出发，则{Xn,n?0}显然是一个Markov链。求 （1）写出状态空间E；
（2）求一步转移概率矩阵； （3）求n步转移概率矩阵。 提示：
（1） E=所有整数