内容发布更新时间 : 2024/6/3 10:37:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
一、 板壳弯曲理论简介 1. 板壳分类
按板面内特征尺寸与厚度之比划分：
当 L/h < (5~8) 时为厚板，应采用实体单元。
当 (5~8) < L/h < (80~100) 时为薄板，可选 2D 实体或壳单元 当 L/h > (80~100) 时为薄膜，可采用薄膜单元。 壳类结构按曲率半径与壳厚度之比划分：
当 R/h >= 20 时为薄壳结构，可选择薄壳单元。 当 6 < R/h < 20 时为中厚壳结构，选择中厚壳单元。 当 R/h <= 6 时为厚壳结构。
上述各式中 h 为板壳厚度， L 为平板面内特征尺度，R 为壳体中面的曲率半径。 2. 薄板理论的基本假定
薄板所受外力有如下三种情况：
① 外力为作用于中面内的面内荷载。弹性力学平面应力问题。 ② 外力为垂直于中面的侧向荷载。薄板弯曲问题。 ③ 面内荷载与侧向荷载共同作用。
所谓薄板理论即板的厚度远小于中面的最小尺寸，而挠度又远小于板厚的情况，也称为古典薄板理论。
薄板通常采用 Kirchhoff-Love 基本假定：
① 平行于板中面的各层互不挤压，即 σz = 0。
② 直法线假定：该假定忽略了剪应力和所引起的剪切变形，且认为板弯曲时沿板厚方向各点的挠度相等。
③ 中面内各点都无平行于中面的位移。
薄板小挠度理论在板的边界附近、开孔板、复合材料板等情况中，其结果不够精确。 3. 中厚板理论的基本假定
考虑横向剪切变形的板理论，一般称为中厚板理论或 Reissner（瑞斯纳）理论。该理论不再采用直法线假定，而是采用直线假定，同时板内各点的挠度不等于中面挠度。 自 Reissner 提出考虑横向剪切变形的平板弯曲理论后，又出现了许多精化理论。但大致分为两类，如 Mindlin（明特林）等人的理论和 Власов（符拉索夫）等人的理论。 厚板理论是平板弯曲的精确理论，即从 3D 弹性力学出发研究弹性曲面的精确表达式。 4. 薄壳理论的基本假定
也称为 Kirchhoff-Love（克希霍夫-勒夫）假定：
①薄壳变形前与中曲面垂直的直线，变形后仍然位于已变形中曲面的垂直线上，且其长度保持不变。
②平行于中曲面的面素上的正应力与其它应力相比可忽略不计。
但上述假定同时假定了两种不相容的变形状态，即平面应变和平面应力状态。因此许多学者提出了许多修正理论，但是只要是基于 Kirchhoff-Love 假定为基础的薄壳理论，其精度都不会超过 Kirchhoff-Love 理论的精度范围。
为构造协调的薄板壳单元，可采用多种方法，如增加自由度法、再分割法（也称复合法）、离散克希霍夫（Discrete Kirchhoff Theory）法等，但都适用于薄板壳结构，也不考虑横向剪切变形的影响。
5. 考虑横向剪切变形的壳理论
可考虑横向剪切变形影响的理论，一般称为 Mindlin-Reissner 理论，是将 Reissner 关于中厚板理论的假定推广到壳中。 二、 板壳有限元与 SHELL 单元
薄板壳单元基于 Kirchhoff-Love 理论，即不计横向剪切变形的影响；中厚板壳单元则基于 Mindlin-Reissner 理论，考虑横向剪切变形的影响。
在 ANSYS中，SHELL 单元采用平面应力单元和板壳弯曲单元的叠加。除 SHELL63、SHELL51、SHELL61 不计横向剪切变形外（可用于薄板壳分析），其余均计入横向剪切变形的影响（可用于中厚板壳分析）。 对于板壳单元还应注意以下几个问题： ⑴ 面内行为
由于面内采用平面应力状态，因此不存在“体积锁死”问题，但“剪切自锁”问题依然存在，因此许多单元采用了 ESF 以响应面内行为， 如 SHELL41、SHELL43 和 SHELL63 单元等，SHELL181 支持横向剪切刚度的读入。 ⑵ 面内转动自由度
面内转动自由度（Drilling DOF，简称 DDOF）也称为法线自转自由度、旋转自由度、第 6 自由度等，因面内平动自由度可完全描述面内行为，故 DDOF 为“虚假”的自由度，其引入目的是便于单元刚度矩阵的转换。该自由度对应一“假设刚度”，为防止整体刚度矩阵奇异，其处理一般有 3 种方法：
① 扭簧型刚度：赋予极小值（如1 . 0 E-5），如 SHELL43、SHELL63 和 SHELL143 的 KEYOPT(3)≠2 时的情形。
② Allman 型转动刚度，用沿边界二次变化的位移模式构造单元，如 SHELL43、SHELL63 和 SHELL143 的 KEYOPT(3)=2 时的情形。
③ 罚函数法：利用罚函数建立面内转动自由度和面内平移自由度之间的关系，进而考虑面内转动刚度，如 SHELL181。 ⑶ 中面与偏置
大多数板壳单元的节点描述单元中面的位置，低阶单元 SHELL181 可使用 SECOFFSET 将节点偏置到单元的顶面、底面或用户指定位置， 高阶单元如 SHELL91 和
SHELL99 可使用 KEYOPT(11) 将节点偏置到单元的顶面或底面，即节点所描述的不再是单元中面，而是单元的顶面或底面等。 ⑷ 小应变与有限应变
所有板壳单元都支持大变形（大转动），但 SHELL63 不支持材料非线性和有限应变，SHELL43、SHELL91、SHELL93 和 SHELL181 支持有限应变，SHELL181 可计算因板壳“伸展”而引起的厚度变化，而 SHELL93 则不能。 三、 四边简支方板与单元计算比较
四边简支的方形薄板，承受均布荷载。设边长 L = 1 m，板厚度 t = 0.01 m， 弹性模量 E = 2.1 E11 Pa， 泊松系数 μ = 0.3， 均布荷载为
q = 40000 N/m^2， 对其进行静态计算分析。该板中心挠度的精确解为 w = 0.004602 q L^4 / D，其中 D=E t^3/ 12 / (1-μ2)；板中心处弯矩为 Mx = My = 0.0479 q L^2，板中心最大应力为 6 Mx / t^2。
! EX6.12 SHELL63 不同网格划分时的计算 finish $ /clear $ /prep7
et,1,shell63 $ r,1,0.01 ! 定义单元类型及实常数（板厚） mp,ex,1,2.1e11 $ mp,prxy,1,0.3 ! 定义材料性质（弹性模量与泊松系数）
blc4,,,1,1 $ n=8 ! 创建几何模型；定义网格划分个数为参数
lesize,all,,,n $ amesh,all ! 定义每条线的划分数目，并划分网格 dk,1,ux,,,,uy $ DK,2,uy ! 将 KP1 的 Ux,UY 约束，将 KP2 的 UY 约束
dl,all,,uz ! 约束所有线的 Uz lsel,s,tan1,x $ dl,all,,rotx ! 与 X 轴垂直的线约束 ROTX lsel,s,tan1,y $ dl,all,,roty ! 与 Y 轴垂直的线约束 ROTY lsel,all $ sfa,all,1,pres,-40000 ! 施加均布荷载 /solu $ solve $ /post1 ! 求解并进入后处理 pldisp,1 ! 观察变形结果 etable,mx,smisc,4 $ pletab,mx ! 定义单元表，显示弯矩图 plnsol,s,x ! 显示节点的 X 方向应力结果 /graphics,full $ prerr ! 关闭 POWERGRAP 模式，显示能量误差百分比
四、 板壳单元计算的几个问题
1. 变厚度板壳的建模
当采用板壳单元计算实际工程结构时，有时要用到变厚度板壳，如薄壁墩及板厚变化的箱梁等，其厚度变化一般是连续的，可表示为空间位置的函数。 ! EX6.13 变壁厚柱结构建模 finish $ /clear $ /prep7
a=6 $ b=8 $ h=15 $ t1=0.8 $ t2=0.3 ! 定义几何参数（仅为建模假定尺寸）
et,1,shell93 ! 定义单元类型 k,1,b/2-t1/2 $ k,2,b/2-t1/2,a/2-t1/2 ! 创建关键点
k,3,0,a/2-t1/2 $ k,4,b/2-t2/2,,h ! 用中面表示结构几何 k,5,b/2-t2/2,a/2-t2/2,h $ k,6,0,a/2-t2/2,h
a,1,2,5,4 $ a,2,3,6,5 ! 创建几何面 esize,0.5 $ mshkey,1 $ amesh,all ! 定义单元尺寸、单元形状、单元划分
*get,nodemax,node,,count ! 得到节点总数 nodemax
*dim,thick,,nodemax ! 定义 thick 为数组，元素数 nodemax
*do,i,1,nodemax ! 循环生成各节点厚度
thick(i)=t1-(t1-t2)/h*nz(i) $ *enddo
rthick,thick(1) ! 赋予各节点厚度 /eshape,1 $ /view,1,1,1,1 $ /ang,1,-120,zs,1 ! 查看单元形状
/ang,1,180,ys,1 $ /ang,1,60,xs,1 $ eplot ! 可以看出与结构形状相同
2. 应力结果的处理
通常求解给出基本结果和导出结果。基本结果为节点自由度结果数据，如节点位移和温度等，是通过求解刚度方程直接计算得到的；导出结果是指从基本结果中计算出的结果数据，如应力、应变等，其结果是针对单元计算的，通常其结果位置有：单元的节点、积分点、单元质心等。