内容发布更新时间 : 2024/12/23 21:58:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
由于BO > AO，所以B端的电势比A端更高，A和B端的电势差为
???BO??AO3?BL23?BL23?2??1.0?10?4(0.5)2= 4.71×10-4(V)． ???101010?[讨论]如果棒上两点到o的距离分别为L和l，则两点间的电势差为
???B(L?l)22
??Bl22?B(L2?2Ll)2．
16．2 一长直载流导线电流强度为I，铜棒AB长为L，A端与直导线的距离为xA，AB与直导线的
夹角为θ，以水平速度v向右运动．求AB棒的动生电动势为多少，何端电势高？
[解答]在棒上长为l处取一线元dl，在垂直于速度方向上的长度为 dl⊥ = dlcosθ； I xA A 线元到直线之间的距离为 r = xA + lsinθ，
θ l 直线电流在线元处产生的磁感应强度为 v r dl ?I?0I． B?0?2?r2?(xA?lsin?)B 由于B，v和dl⊥相互垂直，线元上动生电动势的大小为 o x ?0Ivcos?dl图16.2 ， d??Bvdl??2?(xA?lsin?)棒的动生电动势为
?Ivcos???02??0Ivcos?dl??x?lsin?2?sin?0ALxA?Lsin?d(xA?lsin?)?0Iv， ?cot?ln?2?xAxA?lsin?0LA端的电势高．
[讨论]（1）当θ→π/2时，cotθ = cosθ/sinθ→0，所以ε→0，就是说：当棒不切割磁力线时，棒中不产生电动势．
（2）当θ→0时，由于lnxA?Lsin?Lsin?Lsin??IvL?ln(1?)?，所以??0，这就是棒垂直
xAxAxA2?xA割磁力线时所产生电动势．
16．3 如图所示，平行导轨上放置一金属杆AB，品质为m，长为L．在导轨上的端接有电阻R．匀强磁场B垂直导轨平面向里．当AB杆以初速度v0向运动时，求：
（1）AB杆能够移动的距离；
A （2）在移动过程中电阻R上放出的焦耳热为多少？
[分析]当杆运动时会产生动生电动势，在电路中形成电流；这时杆又B v0 变成通电导体，所受的安培力与速度方向相反，所以杆将做减速运动．随 R 着杆的速度变小，动生电动势也会变小，因而电流也会变小，所受的安培力也会变小，所以杆做加速度不断减小的减速运动，最后缓慢地停下来． B [解答]（1）方法一：速度法．设杆运动时间t时的速度为v，则动生图16.3 电动势为ε = BLv，电流为 I = ε/R， 所受的安培力的大小为
F = ILB = εLB/R = (BL)2v/R，方向与速度方向相反．
取速度的方向为正，根据牛顿第二定律F = ma得速度的微分方程为
(BL)2vdv??m，
Rdtdv(BL)2即： ??dt
vmR(BL)2积分得方程的通解为 lnv??t?C1．
mR
(BL)2根据初始条件，当t = 0时，v = v0，可得常量C1 = lnv0．方程的特解为v?v0exp[?t]．
mR(BL)2 由于v = dx/dt，可得位移的微分方程dx?v0exp[?t]dt，
mR方程的通解为
(BL)2?mRv0(BL)2x?v0?exp[?t]dt?exp[?t]?C2，
mR(BL)2mRmRv0当t = 0时，x = 0，所以常量为C2?． 2(BL)方程的特解为
mRv0(BL)2x?{1?exp[?t]}．
(BL)2mR当时间t趋于无穷大时，杆运动的距离为x?方法二：冲量法．由F = -(BL)2v/R，得
mRv0． (BL)2(BL)2?dx?Fdt，
R右边积分得
?Fdt?0?mvt0，
即：杆所受的冲量等于杆的动量的变化量．左边积分后，可得x?（2）杆在移动过程中产生的焦耳热元为
mv0R． (BL)2(BLv0)2?2(BLv)22(BL)2dQ?IRdt?dt?dt?exp[?t]dt
RRRmR2整个运动过程中产生的焦耳热为
2(BLv0)22(BL)2?mv02(BL)2Q?exp[?t]dt?exp[?t]?RmR2mR0??02mv0， ?2即：焦耳热是杆的动能转化而来的．
16．4 如图所示，质量为m、长度为L的金属棒AB从静止开始沿倾斜的绝缘框架滑下．磁感应强度B的方向竖直向上（忽略棒AB与框架之间的摩擦），求棒AB的动生电动势．若棒AB沿光滑的金属框架滑下，设金属棒与金属框组成的回路的电阻R为常量，棒AB的动生电动势又为多少？
[解答]（1）棒的加速度为a = gsinθ，
B A 经过时间t，棒的速度为v = at = (gsinθ)t，
而切割磁力线的速度为 v⊥ = vcosθ，
D 所以棒的动生电动势为
ε = BLv⊥ = BLg(sinθcosθ)t = BLg(sin2θ)t/2． B （2）设棒运动时间t时的速度为v，则动生电动势为 ε = BLvcosθ， θ C 电流为 I = ε/R，
所受的安培力的大小为 图16.4
2
F = ILB = εLB/R = (BL)vcosθ/R，
其方向水平向右．安培力沿着斜面向上的分量为 F` = Fcosθ， 其方向与速度的方向相反．
取速度的方向为正，根据牛顿第二定律ΣF = ma得速度的微分方程为
(BLcos?)2vdvmgsin???m，
Rdt
即 dt?mRdv， 2mgRsin??(BLcos?)v方程可化为
?mRd[mgRsin??(BLcos?)2v]． dt?(BLcos?)2mgRsin??(BLcos?)2v积分得方程的通解为
t??mRln[mgRsin??(BLcos?)2v]?C． 2(BLcos?)根据初始条件，当t = 0时，v = 0，可得常量
C?mRln(mgRsin?)， 2(BLcos?)方程的特解为
?mR[mgRsin??(BLcos?)2v]， t?ln2(BLcos?)mgRsin?棒的速度为
mgRsin?(BLcos?)2v?{1?exp[?t]}， 2(BLcos?)mR动生电动势为
mgR(BLcos?)2??BLvcos??tan?{1?exp[?t]}．
BLmRmgRsin?[讨论]当时间t趋于无穷大时，最终速度为 v?， 2(BLco?s)mgR最终电动势为 ??tan?，
BLmg最终电流为 I?tan?．
BL另外，棒最终做匀速运动，重力做功的功率等于感生电流做功的功率，重力做功的功率为 P = mgsinθv，
(BLvcos?)2感生电流做功的功率为 P?IR?， ?RRmgRsin?两式联立也可得 v?，
(BLco?s2)2?2由此可以求出最终电动势和电流．
[注意]只有当物体做匀速运动时，重力所做的功才等于电流所做的功，否则，重力还有一部分功转换成物体的动能．
16．5 电磁涡流制动器是一个电导率为ζ，厚度为t的圆盘，此盘绕通过其中心的垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均匀磁场B垂直于圆盘，小面积离轴r（r>>a）．当圆盘角速度为ω时，试证此圆盘受到一阻碍其转动的磁力矩，其大小近似地表达为M≈B2a2r2ωζt．
[解答]电导率是电阻率的倒数ζ = 1/ρ．不妨将圆盘与磁场相对的部分当成
B 长、宽和高分别为a、a和t的小导体，其横截面积为 S = at，
ω a r a 电流将从横截面中流过，长度为a，因此其电阻为 t R??l1． ?S?t图16.5
宽为a的边扫过磁场中，速度大小为 a a v = rω， S I t 产生的感生电动势为 ε = Bav = Barω，
圆盘其它部分的电阻远小于小导体的电阻，因此通过小导体的电流强度为
I = ε/R = Barωζt，
所受的安培力为 F = IaB = B2a2rωζt，
其方向与速度方向相反．产生的磁力矩为 M = Fr = B2a2r2ωζt．其方向与角速度的方向相反．
16．6 如图，有一弯成θ角的金属架COD放在磁场中，磁感应强度B的方向垂直于金属架COD所在平面，一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度v向右滑动，v与MN垂直，设t = 0时，x = 0，求下列两情形，框架内的感应电动势εi．
（1）磁场分布均匀，且B不随时间改变； （2）非均匀的交变磁场B = Kxcosωt． M C B [解答]（1）经过时间t，导体杆前进的距离为 x = vt， 杆的有效长度为 l = xtanθ = v(tanθ)t， v 2
动生电动势为 εi = Blv = Bv(tanθ)t． θ O （2）导体杆扫过的三角形的面积为
N D x 222
S = xl/2 = xtanθ/2 = vttanθ/2，
图16.6 通过该面的磁通量为
kx3tan?kv3tan?3tcos?t ??BS?cos?t ?22感应电动势为
kv3tan?2d??i????(3tcos?t??t3sin?t)，
dt2kv3tan?2即：?i?t(?tsin?t?3cos?t)．
2 16．7 如图所示的回路，磁感应强度B垂直于回路平面向里，磁通量按下述规律变化Φ = 3t2 + 2t + 1，式中Φ的单位为毫韦伯，t的单位为秒．求：
（1）在t = 2s时回路中的感生电动势为多少？
B （2）电阻上的电流方向如何？
[解答]（1）将磁通量的单位化为韦伯得
Φ = (3t2 + 2t + 1)/103，
感生电动势大小为
ε = |dΦ/dt| = 2(3t + 1)/103． R -2
t = 2s时的感生电动势为1.4×10(V)．
图16.7 （2）由于原磁场在增加，根据楞次定律，感应电流所产生的磁场的方向
与原磁场的方向相反，所以在线圈中感生电流的方向是逆时针的，从电阻的左边流向右边．
16．8 如图所示的两个同轴圆形导体线圈，小线圈在大线圈上面．两线圈的距离为x，设x远大于圆半径R．大线圈中通有电流I时，若半径为r的小线圈中的磁场可看作是均匀的，且以速率v = dx/dt运动．求x = NR时，小线圈中的感应电动势为多少？感应电流的方向如何？
[解答]环电流在轴在线产生的磁感应强度为
B ?0IR2， B?r 223/22(x?R)当x>>R时，磁感应强度为 B?2
?0IR22x3．
x I o R 图16.8
小线圈的面积为S = πr，通过的磁通量为
??BS???0IR2r22x3，
d?3??0IR2r2v当小线圈运动时，感应电动势为???， ?4dt2x
3??0Ir2v当x = NR时，感应电动势为??．
2N4R2 感应电流的磁场与原磁场的方向相同，感应电流的方向与原电流的环绕方向相同．
16．9 如图所示，匀强磁场B与矩形导线回路的法线n成θ = 60°角，B = kt（k为大于零的常数）．长为L的导体杆AB以匀速v向右平动，求回路中t时刻的感应电动势的大小和
n B 方向（设t = 0时，x = 0）．
A [解答]经过时间t，导体杆运动的距离为x = vt，
θ 扫过的面积为 S = Lx = Lvt，
L v 通过此面积的磁通量为 Φ = B·S = BScosθ = Lvkt2/2． 感应电动势的大小为 ε = dΦ/dt = Lvkt． D B 由于回路中磁通量在增加，而感应电流的磁通量阻碍原磁通量增加，其磁场
图16.9 与原磁场的方向相反，所以感应电动势的方向是顺时针的．
16．10 长为b，宽为a的矩形线圈ABCD与无限长直截流导线共面，且线圈的长边平行于长直导线，线圈以速度v向右平动，t时刻基AD边距离长直导线为x；且长直导线中的电流按I = I0cosωt规律随时间变化，如图所示．求回路中的电动势ε． A B [解答]电流I在r处产生的磁感应强度为B?穿过面积元dS = bdr的磁通量为
?0I， 2?rB rx x d??BdS??0Ibdr， 2?rdrx v bx C 穿过矩形线圈ABCD的磁通量为
D a 图16.10
?0Ibx?a1?0Ibx?a??dr?ln()， ?2?xr2?x回路中的电动势为
????Ib?bd?x?aavcos?tx?adI11dx??0[ln()?I(?)]?00[?ln()sin?t?]． dt2?xdtx?axdt2?xx(x?a) 显然，第一项是由于磁场变化产生的感生电动势，第二项是由于线圈运动产生的动生电动势．
*
16．11 如图，一个矩形的金属线框，边长分别为a和b（b足够长）．金属线框的质量为m，自感系数为L，忽略电阻．线框的长边与x轴平行，它以速度v0沿x轴的方向从磁场外进入磁感应强度为B0的均匀磁场中，B0的方向垂直矩形线框平面．求矩形线框在磁场中速度与时间的关系式v = v(t)和沿x轴方向移动的距离与时间的关系式x = x(t)．
[解答]由于b边很长，所以线框只有右边在做切割磁力线的运动．当线框速度为v时，产生的动生电动势为 ε = B0av． y 当线框中的电流为i时，产生的自感电动势的大小为 B0 bx div0 ?L?L．
ax dt根据奥姆定律得 ε + εL = iR，由于不计电阻，所以有
B0av?Ldi?0． ① dtdvm， dto 图16.11
x 右边所受的力为 F = iaB0，根据牛顿第二定律得 iaB0?
didv?m2， ② dtdtd2v(aB0)2联立①和②式得微分方程 ?v?0， 2dtmL微分得 aB0这是简谐振动的微分方程，其通解为
2