内容发布更新时间 : 2024/12/26 1:21:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
∴ ∠BCF∽△DBA. ∴ 又 BD=2BC,AB=AC, ∴ ∴ FC=
FCBC=. ABDBFCBC1==. AC2BC2AF=FC.
1AC. 因此 2=1.
26.已知:如图,F是四边形ABCD对角线AC上一点,EF∥BC,FG∥AD.
求证:
AECG+
ABCD
【提示】利用AC=AF+FC. 【答案】∵ EF∥BC,FG∥AD,∴
∴
AECG+
ABCD=
AEAFCG=,
ABACCDAFCFAC+==1. ACCAAC=
CFCA.
27.如图,BD、CE分别是△ABC的两边上的高,过D作DG⊥BC于G,分别交CE及BA的延长线于F、H,求证:
2
(1)DG=BG·CG;(2)BG·CG=GF·GH.
【提示】(1)证△BCG∽△DCG;(2)证Rt△HBG∽Rt△CFG. 【答案】(1)DG为Rt△BCD斜边上的高,
∴ Rt△BDG∽Rt△DCG.∴
CGDG=,即DG=BG·CG. DGBG2
(2)∵ DG⊥BC, ∴ ∠ABC+∠H=90°,CE⊥AB.
∴ ∠ABC+∠ECB=90°.∴ ∠ABC+∠H=∠ABC+∠ECB.∴ ∠H=∠ECB.
又 ∠HGB=∠FGC=90°,∴ Rt△HBG∽Rt△CFG.∴
BGGH=
GFGC,
∴ BG·GC=GF·GH.
28.如图,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b.
(1)当BD与a、b之间满足怎样的关系时,△ABC∽△CDB?
(2)过A作BD的垂线,与DB的延长线交于点E,若△ABC∽△CDB. 求证四边形AEDC为矩形(自己完成图形).
b2【提示】利用三角形相似,推出BD=
a.
【答案】(1)∵ ∠ABC=∠CDB=90°,∴ 当
即
ab=.∴ bBDACBC=时,△ABC∽△CDB. BCBDb2b2BD=.即当BD=时,△ABC∽△CDB.
aa∵ △ABC∽△CDB,∴ ∠ACB=∠CBD.∴ AC∥ED.
又 ∠D=90°,∴ ∠ACD=90°.∴ ∠E=90°.∴ 四边形AEDC为矩形.
29.如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC
(AB>AE).
(1)△AEF与△EFC是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由;
(2)设
AB=k,是否存在这样的k值,使得△AEF∽△BFC,若存在,证明你的结论并求出k的值;若不存在,BC说明理由.
【提示】(1)如图,证明△AFE≌△DGE,证出∠AFE=∠EFC.
(2)证明∠ECG=30°,∠BCF=30°. 【答案】如图,是相似.
【证明】延长FE,与CD的延长线交于点G.
在Rt△AEF与Rt△DEG中,
∵ E是AD的中点,∴ AE=ED.
∵ ∴ 又 又 ∠AEF=∠DEG,∴ △AFE≌△DGE. ∠AFE=∠DGE.∴ E为FG的中点.
CE⊥FG,∴ FC=GC.∴ ∠CFE=∠G.∴ ∠AFE=∠EFC. △AEF与△EFC均为直角三角形,∴ △AEF∽△EFC.
① 存在.如果∠BCF=∠AEF,即k=
3AB=
2BC3,∴
时,△AEF∽△BCF.
证明:当
3ABDC=时,
2BCDE=∠ECG=30°.
∴ ∠ECG=∠ECF=∠AEF=30°.∴ ∠BCF=90°-60°=30°.
又 △AEF和△BCF均为直角三角形,∴ △AEF∽△BCF.
② 因为EF不平行于BC,∴ ∠BCF≠∠AFE.∴ 不存在第二种相似情况.
30.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,CA=8 cm,动点P从点C出
发,以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B,则从C点出发多少秒时,可使
S△BCP=
1S4△ABC?
【提示】先求CP,再求DP.
【答案】当点P从点C出发,运动在CA上时,若S△BCP=
1S4△ABC,则
111·CP·BC=·AC·BC, 242∴ CP=
1·AC=2(cm). 4故由点P的运动速度为每秒2 cm,它从C点出发1秒时,有S△BCP=如图,可过点P作PD⊥BC于D.
若S△BCP=
1S4△ABC.当点P从点C出发运动到AB上时,
1S4△ABC,则
∴
111PD·BC=·AC·BC. 2421PD=AC=2(cm).
4BPPD=. ABAC
∵ Rt△BAC∽Rt△BPD, ∴
又 AB=故
AC2?BC2=10, 2?1055BP==,AP=AB-BP=10-=.
2281S4△ABC也就是说,点P从C出发共行 cm,用去秒,此时S△BCP=答:1秒或秒.
31. BC=50m,AM≈133米. 32. 错误,∵
.
AOBO? ODOC33. 证△DCE∽△DBC得DC=DE·DB再证△DEF∽△DAB得DE·DB=DA·DF (2)AD·DF=DG·DC 34. BC=4m
2
35. 证(1)△EAC与△DBC全等,得到∠EAC=∠B,而∠B=∠ACB,得∠EAC=∠ACB 故AE(1)连接BC交OA于E点 ∵AB、AC是⊙O的切线,
∴AB=AC, ∠1=∠2 ∴AE⊥BC ∴∠OEB=90O ∵BD是⊙O的直径 ∴∠DCB=90O ∴∠DCB=∠OEB ∴CD∥AO… (2)∵CD∥AO ∴∠3=∠4
∵AB是⊙O的切线,DB是直径 ∴∠DCB=∠ABO=90O
BDDC
∴△BDC∽△AOB ∴ =
AOOB
6x18
∴ = ∴y = ∴0 y3x ?x?y?11 (3)由已知和(2)知:?……………8分 ?xy?18 把x、y看作方程z2-11z+18=0的两根 解这个方程 得 z=2或z=9 ?x1?2??x?9y?9 ∴ ?1 ?2 (舍去) ∴AB=92-32 =72 =6 ?y2?237. (1)∵AP=QC,AP+BQ=QC+BQ=BC=1 又∵AP、BQ分别为方程x2?mx?n?0的两根,有AP+BQ=m,AP·BQ=n ∴AP+BQ=m=1(2分) (2)∵EF∥AP∴ EFEQEQBQ?? 又∵AP∥BQ∴ APAQAEAP∴ EQBQEQBQ?? 即 AE?EQAP?BQAQAP?BQEFBQAP?BQ?即:EF? APAP?BQAP?BQ∴ (3)连结QD,则EP∥QD,得:S△AQD=∴S△AEP= AP2·S△AQD= 1,且S△AEP∶S△AQD=AP2∶AD2= AP2∶1= AP2 212 AP∴S△PQE∶S△AEP=EQ∶AE, 21111即∶AP2= EQ∶AE=BQ∶AP ∴AP·BQ=即:n= 824438. 解(1)∵OA=12,OB=6由题意,得BQ=1·t=t,OP=1·t=t∴OQ=6-t∴y= 11×OP×OQ=·t(622-t)=- 12 t+3t(0≤t≤6) 21(2)∵y??t2?3t ∴当y有最大值时,t?3∴OQ=3 OP=3即△POQ是等腰直角三角形。把△POQ 2沿PQ翻折后,可得四边形OPCQ是正方形∴点C的坐标是(3,3)∵A(12,0),B(0,6)∴直线AB的 19x?6当x?3时,y??3,∴点C不落在直线AB上 22OQOP6?ttOQOP6?tt(3)△POQ∽△AOB时①若,即∴t?4②若,即??,??,12?2t?t, OAOB612OBOA1266?t?2t,∴t?2∴当t?4或t?2时,△POQ与△AOB相似。 解析式为y??39. 【提示】利用相似三角形的性质,列出关于ED的方程,求ED的长,即可求出S△ABC. 【答案】∵ 矩形PQMN,∴ PN∥QM,PN=QM.∵ AD⊥BC, ∴ AE⊥PN.∵ △APN∽△ABC,∴ PNBC= AE. AD设ED=x,又 矩形周长为24,则PN=12-x,AD=16+x. ∴ 12?x16=.即 1016?xx2+4x-32=0.解得 x=4. ∴ AD=AE+ED=20.∴ S△ABC= 1BC·AD=100. 2【点评】本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比. 40. 【提示】先证PB=PC,再证△EPC∽△CPF. 【答案】连结PC. ∵ AB=AC,AD是中线,∴ AD是△ABC的对称轴. ∴ PC=PB,∠PCE=∠ABP.∵ CF∥AB, ∴ ∠PFC=∠ABP.∴ ∠PCE=∠PFC. 又 ∠CPE=∠EPC,∴ △EPG∽△CPF. ∴ PCPE=.即 PFPCPC2=PE·PF.∴ BP2=PE·PF. 【点评】本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质. 41.(1) 证明:连结OD,-------1分 ∵?C?90o,∴?DBC??BDC?90o. 又∵BD为∠ABC的平分线,∴?ABD??DBC. ∵OB?OD,∴?ABD??ODB ∴?ODB??BDC?90o,即∴?ODC?90o-----2分 又∵OD是⊙O的半径, ∴AC是⊙O的切线. ………………………………………………3分 (2) 解:∵ DE⊥DB,⊙O是Rt△BDE的外接圆, ∴BE是⊙O的直径, 设⊙O的半径为r, 22222在Rt△ABC中, AB?BC?CA?9?12?225, ∴AB?15 ∵?A??A,?ADO??C?90o,∴△ADO∽△ACB.