内容发布更新时间 : 2024/5/17 18:02:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
16.三棱柱ABC?A1B1C1中， AB?BC?AC，侧棱AA1?底面ABC，且三棱柱的侧面积为3棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为_____． 【答案】4? 【解析】 【分析】
分析题意可知，三棱柱ABC?A1B1C1为正三棱柱，所以三棱柱的中心即为外接球的球心O，
3.若该三
?a??h?设棱柱的底面边长为a，高为h，则三棱柱的侧面积为3a?h?33，球的半径表示为R?????2?，
?3???再由重要不等式即可得球O表面积的最小值 【详解】如下图，
∵三棱柱ABC?A1B1C1为正三棱柱 ∴设A1C1?a，BB1?h ∴三棱柱的侧面积为3a?h?33 ∴a?h?3 22ah?a??h?又外接球半径R????2???1， ??2?32?3???当且仅当22a3?h6时，等号成立，此时h?2，a? 22∴外接球表面积S?4?R2?4?. 故答案为：4?
【点睛】
考查学生对几何体的正确认识，能通过题意了解到题目传达的意思，培养学生空间想象力，能够利用题目条件，画出图形，寻找外接球的球心以及半径，属于中档题
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知?ABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，且acosB?（1）求角A的大小；
（2）求sin2B?sin2C?sinBsinC的值. 【答案】（1）A?【解析】 【分析】
（1）正弦定理的边角转换，以及两角和的正弦公式展开，特殊角的余弦值即可求出答案；
1b?c. 232?；（2）. 34b2?c2?bc（2）构造齐次式，利用正弦定理的边角转换，得到sinB?sinC?sinBsinC?sinAg，
a2222结合余弦定理a2?b2?c2?2bccosA 得到sinB?sinC?sinBsinC?【详解】解：（1）由已知，得
223 41sinAcosB?sinB?sinC
2又∵sinC?sin?A?B?
1sinB?sinAcosB?cosAsinB 21∴cosAsinB?sinB?0,因为B??0,??,sinB?0
2∴sinAcosB?1得cosA??
2∵0?A?? ∴A?2?. 3（2）∵sin2B?sin2C?sinBsinC
sin2B?sin2C?sinBsinC ?sinAg2sinA23b2?c2?bc ?g4a2又由余弦定理，得
a2?b2?c2?2bccos?b2?c2?bc
2? 3∴sinB?sinC?sinBsinC?223 4【点睛】1.考查学生对正余弦定理的综合应用；2.能处理基本的边角转换问题；3.能利用特殊的三
角函数值推特殊角，属于中档题
在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD?平面ABCD,E,F18.如图，?PAD为正三角形，分别是AD,CD的中点.
（1）证明:BD?平面PEF
（2）若?BAD?60?，求二面角B?PD?A的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）连接AC，由菱形的性质以及中位线，得BD?FE，由平面PAD?平面ABCD，且PE?交线AD，得PE?平面ABCD，故而BD?PE，最后由线面垂直的判定得结论.
5. 5ur（2）以E为原点建平面直角坐标系，求出平面平PAD与平面PBD的法向量m??0,1,0?
r，n??3,?1,?1，最后求得二面角B?PD?A的余弦值为5.
5?【详解】解：（1）连结AC
∵PA?PD ，且E是AD的中点， ∴PE?AD
∵平面PAD?平面ABCD， 平面PADI平面ABCD?AD， ∴PE?平面ABCD. ∵BD?平面ABCD， ∴BD?PE
又ABCD为菱形，且E,F为棱的中点， ∴EF//AC,BD?AC
∴BD?EF.
又∵BD?PE,PE?EF?E，PE,EF?平面PEF ∴BD?平面PEF. （2）由题意有，
?∵四边形ABCD为菱形，且?BAD?60,
∴EB?AD
分别以EA，EB，EP所在直线
x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，设AD?1，则
3??3??1??D??,0,0?,B?0,,0,P0,0,?????? 22?2??????r设平面PBD的法向量为n??x,y,z?.
vvuuu??n·DB?0?x?3y?0v由?vuuu，得?， n·DP?0???x?3z?0r令x?3，得n?3,?1,?1
??ur取平面APD的法向量为m??0,1,0? urr15∴cosm,n?? ??55Q二面角B?PD?A锐二面角，
5 5∴二面角B?PD?A的余弦值为【点睛】处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运用几何语言表示出来方才过关，一定要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直，才可以证得线面垂直，其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角问题，培养了学生的计算能力和空间想象力.
19.某保险公司给年龄在20?70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段?20,30?,?30,40?,?40,50?,?50,60?,?60,70?分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.