内容发布更新时间 : 2024/5/3 14:34:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
专题1l 天体运动种种
卫星、行星、恒星、星团、星系、星系团、超星系团，各种不同层次的天体世界由小到大组成了整个宇宙，宇宙是那么的广袤浩瀚，深邃奇妙，然而，它们又是有序的，一些基本的规律支配着天体星球的种种行为，开普勒三定律描述了星体的运动学规律，牛顿运动定律及万有引力定律更揭示出天体运动的动力学原因。 一、牛顿的草图
牛顿在说明人造地球卫星原理时画的草图如图所示，在离地面一定高度水平抛出一物体，当初速度较小时，物体沿椭圆曲线a落地；当初速度较大时，物体沿椭圆曲线a?落地，落地点较远；当初速度达到第一宇宙速度时，物体沿圆轨道b运行；当初速度大于此值时，物体沿椭圆曲线c绕地运行；当初速度等于第二宇宙速度时，物体沿抛物线轨道d离开地球不再回来；当初速度大于此速度时，物体沿双曲线e离开地球。
物体在有心力场中的运动轨迹是圆锥曲线，地球的中心是曲线的焦点，图所示的几条轨道中，圆轨道b是一个临界轨道，在b以内的椭圆（如a），抛出点是椭圆的远地点，在b以外的椭圆轨道（如c），抛出点是椭圆的近地点。抛物线轨道d又是一个临界轨道，在d以内的轨道（如a、b、c）是封闭的椭圆，在d以外的轨道（如e）是不封闭的双曲线。牛顿的这张草图不仅对于任何一个绕地球运行的卫星是适用的，而且对于任何一个绕中心天体运行的星体都是适用的。 二、守恒定律
支配天体运动最基本的规律当然是万有引力定律、牛顿运动定律和开普勒定律，除此之外，守恒定律也是十分重要的。 1、机械能守恒
物体只在引力作用下绕中心天体运行，其机械能守恒．引力是保守力，引力场是势场，在平方反比引力场中，质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置。 如图所示，在质量为M的中心天体的引力场中，一质量为m的物体由点A1（距中心r1）经点A2、A3、??????运动到点An（距中心rn），M对它的引力做负功，其大小是
nnri?1?riMm11W?lim?G2(ri?1?ri)?GMmlim??GMmlim?(?)n??n??n??riri?1i?1i?1ri?1ri?ri?1in11 ?GMm(?)r1rn 如果物体从点A1运动到无限远，即rn??，引力做负功W?G
Mm。可见，令无穷r1Mm远处为零引力势能位置，物体在距中心天体r处的势能是Ep??G。
r 在上述引力场中，机械能守恒的表达式是
12Mmmv?G?恒量。 2r 天体运动取何种圆锥曲线取决于其总机械能E。以地球卫星为例，当E?0时地球卫星
的轨迹为抛物线，此时地球卫星到达离地球无限远处时速度变为零，即刚好能脱离地心引力的束缚，设地球半径为R，卫星在地球表面发射时的初速度用vd表示，有
12Mm2GMmvd?G?0，vd?。 2RR此即卫星脱离地心引力束缚所需最小初速度—第二宇宙速度；当E?0时地球卫星的轨迹为
椭圆，其中特例是圆，这时有
vGM?d， R2此即第一宇宙速度—环绕地球运动的最小初速度，而当E?0时，地球卫星沿双曲线脱离地
vb?心引力，在离地球无限远时动能仍不为零，这种轨道要求初始时速度满足
ve?2GM。 R 牛顿曾证明：一个均匀球壳质量M对球壳内物质的万有引力为零，如图所示，球壳半径为r，壳内任一位置放质量为m的质点，通过质点m作两条夹角极小的弦，作为两个顶点相同的圆锥面的母线，两个圆锥面对质点m张开的立体角??（在???0时）相同，两个圆锥面与半径为R的球面相截所得球壳面积分别是?S1和?S2，两面元法线各沿OA、OB方向，两面元的质量各为???S1和???S2，其
M，两面元极小而可看做质点，设24?R两面元到m的距离分别为r1和r2，那么有
???S1?m???S2?m，， F1?GF?G2r12r22 由几何关系知，两个面元?S1、?S2在垂直r1、r2方向的投影面积相等，即
中?为球壳质量面密度，???S1?cos?1?r12???，?S2?cos?2?r22???，
而?1??2，故有F1?F2。
此二力方向相反，合力为零，对球面上其他质量对m的力均如此，故整个球壳对球壳内物质的万有引力为零。对于一个质量均匀半径为R的实心球，在距球心r（?R）处质点只受半径为r的球内质量的万有引力，而r以外球壳（即以R为外径、r为内径的球壳）则对质点无引力的作用。若均匀球质量为M，则距球心r处所置质点受到引力大小为
MmF?G3r，
R显见引力F与r成正比，质点在距球心r（?R）处具有的引力势能可由引力功求得，即
MmR?rGMmG3??(R?r)??Ep R2RMmEp?G3(r2?3R2)。
2R2、动量守恒
两个天体相互作用过程中，如果其他星系离它们很遥远，对它们的作用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互作用直到远离，它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互作用的前后相对速度遵守“反射定律”，如果是一·维方向上的“弹性碰撞”，则相对速度等值反向，如同我们在专题9中讨论过的。若一个飞船向外喷气或抛射物体，则系统的动量守恒而机械能不守恒。 3、角动量守恒
在描述物体围绕一定中心的转动情况时，我们常引入角动量的概念，它与描述做平动的物体的运动状态量一（线）动量p?mv相当。如图所示，质量为m的质点做半径为r的圆周运动，其位置可用从圆心O到质点的有向线段r来表示，矢量r称位置矢量，或称矢径。做圆周运动的质点，矢径大小等于轨迹圆半径，方向从圆心指向质点所在位置。质点的线速度矢量为v，方向沿切线方向，则质点的（线）动量为p?mv，方向
O总是与矢径r垂直，我们定义质点动量大小mv与矢径大小r的乘积为质点对定点（圆心）
的角动量，即
L?pr。
当p与r方向不垂直而成角度?时，例如行星绕日在椭圆轨道运动（除经近日点或远日点）时。如图所示，行星在公转轨道任意位置A时，动量p与矢径r成?角，此时，行星对O点的角动量大小为
L?prsin?。
即等于动量大小与O点到动量矢量p的垂直距离的乘积。角动量也是矢量，方向垂直于矢径r与动量p所在平面，遵守右手螺旋定则，角动量定义的矢量式写作
L?r?p，
它表示角动量矢量是动量与矢径两矢量的矢积。我们看到角动量的表达式与力矩的表达式
M?FLsin?（或M?r?F）是置换对称的，故角动量也常称做动量矩。
若作用在质点上的力对某定点的力矩为零，则质点对该定点的角动量保持不变，这就是质点的角动量守恒定律。物体在受有心力作用而绕着中心天体运动，或几个天体互相绕其系统质心运动时，由于有心力必过力心，对力心的力矩为零，故系统的角动量守恒。即
?mvrsin??恒量。
三、常用模型与方法 处理天体运动问题，不仅需要必要的有关天体运动规律的知识，而且需要掌握解决这类问题的有用的模型与方法，常用的有以下几种： 1、理想化方法
由于天体运行规律相当复杂，所以应根据其实际情况，忽略次要因素，使问题简化，比如宇宙尘埃凝聚成星球时假设它们之间不互相超越，彗星绕日运行时忽略行星对它的引力，飞船着陆时忽略其登陆细节等，这样使实际问题在较理想的情景下进行处理。 2、轨道极限模型
物体在中心天体的引力作用下做直线运动时，其运动是加速度变化的变速运动，可以将它看做绕中心天体的椭圆轨道运动，将此椭圆轨道短轴取为无限小，即中心天体为力心的有心力作用下物体的直线运动是椭圆运动的极限。 3、微元方法与矢量方法
天体运动问题的计算要根据具体情况进行等效变换。运用微元法或进行矢量运算，使原本复杂的计算问题得以在初等数学的范围内解决．下面我们列举天体运动的一些典型问题，整合天体运动问题的常用模型与处理方法。 【例1】试推导地球上的第三宇宙速度v3。
【分析与解】以多大的初速度v3从地球上发射物体。可以使物体挣脱太阳的引力而逃逸出太阳系？对太阳这个中心天体而言，原处于太阳系中地球轨道位置的物体要离开太阳系所需对太阳而言的“第二宇宙速度”为
??v22GMS?42.1km/s， R式中MS是太阳的质量，R是地球公转轨道半径。这是以日为参考系之速度，而地球对太阳的公转速度为v地日?29.8km/s；则以地球为参考系，物体要脱离太阳束缚所需速度为
??v地日）（v2，而由能量守恒可知，质量为m的物体从地球发射时要满足
Mm112??v地日)2， mv3?G地?m(v22R地2M地??v地日)2?16.7km/s。 ?(v2则 v3?2GR地故地球上的第三宇宙速度大小是16.7km/s。
【例2】要发射一台探测太阳的探测器，使其与地球具有相同的绕日运动周期，以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料。由地球发射这样一台探测器，应使其具有多大的绕日速度？
【分析与解】如图所示，地球绕日运动轨道理想化为以太阳为中心的圆O，探测器绕日轨道应设计为近日点接近焦点—太阳的一个椭圆，设发射点为P。由于探测器与地球具有相同的绕日周期，故椭圆轨道半长轴，即OP?R，可知P点为椭a与日地距离R相等（开普勒第三定律）
圆轨道半短轴b的顶点。发射时应使探测器绕行速度沿椭圆上P点切线
方向（平行于长轴）。图中，vP表示探测器发射时相对太阳的速度，v0表示地球公转速度。现在来求探测器的发射速度vP。
设想从发射经极短的时间?t，此间矢径OP扫过一个极小的角度??，由于??之小，使我们可以将OP在圆和椭圆上扫过的两个曲边三角形面积近似地以三角形面积公式计算之，并且认为在这极短时间内，探测器速度未及改变，所以有
?S圆?又由开普勒第二定律知
11v0??t?R，?S椭?vP??t?b； 22T2?R联立求解得 vP?v0?。
T?S圆??R2??t；?S椭??abT??t??RbT??t；
即探测器发射速度应与地球的公转速度的大小相等。
【例3】火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射，返回时落回离发射场不远处。空气阻力不计，试估算火箭飞行的时间，地球半径取R?6400km。
【分析与解】火箭向上发射又落回地面，它在地心力场中的运动轨道是以地心为一个焦点、最高点为远地点的椭圆的一部分，如图所示，由开普勒第二定律可知，火箭在空中运动时间正比于矢径扫过的面积，由于落地点离发射点不远，可见轨道椭圆很“扁”，其焦点即力心离轨道近地点很近，则物体上升的最高点与地心成为轨道椭圆长轴的两个端点。
设轨道椭圆的长轴为r，火箭在远地点时速度可认为零，由机械能守恒关系可得，火箭发射时总机械能与到达离地面最高处总机械能满足方程
1MmMm??Gmv2??G， 2Rr式中M、m分别表示地球与火箭的质量，v1是第一宇宙速度v1?gR，可得轨道椭圆的长轴r?2R。再设火箭在长轴为2R的扁椭圆轨道运动周期为T0，而在空中段运动时间为t，
由开普勒第二定律得
S0S?。 T0t式中S0是轨道椭圆面积，S0??Rb（b为该轨道椭圆半短轴）；S是火箭飞行时间t内，
矢径扫过的图中划斜线部分的面积，它可近似地看做半个椭圆（地面以上部分）与一个三角形（地面以下部分）的面积之和，即
S?于是得
?Rb1?Rb??R?2b??Rb， 222t?S?Rb?2Rb??2T0?T0?T0。 S02?Rb2?而由开普勒第三定律知，因该轨道半长轴与近地轨道半径相同，故周期亦相同，有
T0?2?R， g。4.?1131s0
6??2R6.?410则 t??2??(??2)s?2?g10 通常情况下，研究地面上物体的竖直上抛运动时，我们忽略了地心引力随引力距离平方
反比递减的极小变化而被看做是匀变速直线运动，当要考虑这种变化时，处理方法就如同例3的求解方法。
【例4】竖直上抛运动中，以r表示到达最高点所用时间，以打表示最高点离地球表面的距离，R表示地球半径，M表示地球质量，G为万有引力常量，不计空气阻力，从考虑万有引力是“平方反比力”出发，确定时间T的数学表达式。 【分析与解】通常情况下，我们将竖直上抛运动看做加速度为g的匀变速运动，上升高度H历时
2H2HR2； t??gGM从考虑万有引力出发，物体在平方反比力作用下所做的“竖直上抛运
动”，其轨迹应是以地心为焦点的一个狭长的椭圆上的一部分，该椭圆的长轴可取作R?H，假设该椭圆是许多绕地卫星可能的开普勒轨道中的一个，如图所示。
根据开昔勒第三定律可知，在这样的轨道上运动的物体的运行周期T?与沿地表附近的圆轨道运行的周期T0的关系为
R?H3)T?2?， T02R32(RR3又 T0?2?， ?2?gGM故 T???(R?H)R?H。 ① 2GM 根据开普勒第二定律，物体沿椭圆轨道运行的时间应与从地心O引出的矢径所扫过的面积成正比。设物体从P点被抛出至落回地面Q点历时?t，则有
?tS?。 ② ?TS?式中S是图中划斜线部分图形的面积，它是由椭圆冠与一个等腰三角形组成的，S?是轨道椭圆面积，由此式求出?t，题目所欲求的便是t??t。 2解题思路确定后，问题症结在于求出物体飞行期间，其矢径扫过的面积S，我们用初等数学方法来求解。
先计算等腰三角形部分的面积S1，设狭长椭圆半短轴为b，该椭圆在如图所示坐标系中的解析方程为
x2y2??1， b2(R?H)22故可求出Q点（物体落地点）的横坐标为
x?2RHb，
R?H