内容发布更新时间 : 2025/3/12 7:33:35星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
则等腰三角形之底边长为
PQ?4RHb，
R?H由此得 S1?2RHR?Hb?R。
再计算椭圆冠的面积S2，如图所示，以椭圆中心O?为圆
心作一半径为R?H2的辅助圆，连接P、Q并延长成为辅助
圆之弦MN，由于MN与椭圆长轴垂直，故其在圆及椭圆上
截出的两冠面积满足的关系为
?(R?HS??)2S?2??R?2H?R?H。 2?b2b其中圆冠面积为
S???1R?H2R2(2)?2arccos?HR?H?RH?R?H2， 故可计算椭圆冠部分面积S2为
S1R?HbRH(R?H)2?2b(R?H)?arccosR?H??R?H， 则图中阴影部分的总面积为S?S1?S2，即
S?12b(R?H)?arccosR?HR?H?bRH， ③
将①、③两式代入②式，然后利用t??t2便可最终计算得物体从抛出达到最高点所用时间
为
t?R?H?2GM??RH?(R?H)R?H?2?arccosR?H??。 上面问题的处理中，我们运用了天体的椭圆轨道模型，巧妙地运用开普勒天体运动学定律求
得结果。下面我们运用动力学规律与矢量方法讨论天体运动问题。
【例5】设想宇宙中有一由质量分别为m1、m2、??????、mN的星体1、2、??????、N构成的孤立星团，各星体空间位置间距离均为a，系统总质量为M由于万有引力的作用，N个星体将同时由静止开始运动。试问经过多长时间各星体将会相遇？
【分析与解】设系统的质心为O，由于系统不受外力作用而系统内各质点均受平方反比引力，根据系统的牛顿第二定律可知，系统的合加速度为零，用质量为
?mi、加速度为零的质点O来等效系统的运动，O称为系统的质心。而对
各质点而言，它们将最终相遇在质心所在位置。先研究质量为m1的质点1，它将受到其他各质点的引力F21、F31、??????、FN1，这些力均遵守万有引力定律，大小为Fii1?Gm1ma2；方向沿两质点连线而指向对方。如图所示，O为系统质心位置，r1、ri为质点1与质点i对质心O的位置矢径。由图可知，r1与ri两矢量差的大小为a，方
向同Fi1，故
Fi1?G即
m1mi(ri?r1)， a3F21?G??????
m1m2(r2?r1)； 3ammF31?G133(r3?r1)；
am1mN(rN?r1)； a32，???，N）为各质点对质心O位置的矢径。则，质点1所受合力为 上列各式中，ri（i?1，m1?F?G?1a3??m1r1?m2r2????????mNrN?(m1?m2???????mN)r1?。
?miri?0，即mr?0，则有
由于点O为质心，?iimmm1M??(m?m???????m)r??Gr1。 ?F1?Ga31?12N1?3?a若设矢量r1的大小为r1?ka，那么质点1所受其他质点引力之合力大小为
FN1?Gm1Mm1k3M?F1?Ga3ka?Gr2。
13由上式可知，质点工所受各质点引力之合力等效于在O点的质量为kM的质点对它发生的
ka引力，质点1在这个平方反比力作用下，在以O为一个焦点，以是为长半轴而短半轴逼
2近于零的“椭圆轨道”运动，初始位置为“远力心点”，经半个周期，到达“近力心点” O。
对于其他各质点，情况相同，故相遇经历时间为
ka3)Ta32t?????。 32GkM8GM(【例6】远点在木星轨道而绕日运行的彗星称为木星彗星，它的形成可看成是从无限远处落
向太阳的天体经木星吸引偏转而成为太阳的彗星，求其近日点。（已知木星的公转轨道半径为R）
【分析与解】我们首先将问题理想化为这样一个模型：从无限远处落向太阳的天体在木星轨道经与木星发生“弹性碰撞”改变运动方向进人绕日