内容发布更新时间 : 2025/1/23 14:26:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
?a2?b2 ?BC
线段OQ,OR,BC能构成一个直角三角形。
2017B 11、（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1:y2?4x，曲线
2C2:(x?4)2?y2?8．经过C1上一点P作一条倾斜角为450的直线l，与C2交于两个不同的点
Q,R，求PQ?PR的取值范围。
★解析：设P(t2,2t)，则直线l的方程为y?x?2t?2t，代入曲线C2的方程得，，8 (x?42)?x(?t2?2t2)?化简可得：2x2?2(t2?2t?4)x?(t2?2t)2?8?0①，
由于l与C2交于两个不同的点，故关于x的方程①的判别式?为正，计算得，
??(t2?2t?4)2?2((t2?2t)2?8)?(t2?2t)2?8(t2?2t)?16?2(t2?2t)2?16 4??(t2?2t)2?8(t2?2t)??(t2?2t)(t2?2t?8)??t(t?2)(t?2)(t?4)，
因此有t?(?2,0)(2,4)，②
12((t?2t)2?8)， 22设Q,R的横坐标分别为x1,x2，由①知，x1?x2?t?2t?4，x1x2?因此，结合l的倾斜角为45可知，
|PQ||PR|?2(x1?t2)2(x2?t2)?2x1x2?2t2(x1?x2)?2t4
?(t2?2t)2?8?2t2(t2?2t?4)?2t4?t4?4t3?4t2?8?2t4?4t3?8t2?2t4
?t4?4t2?8?(t2?2)2?4，③
由②可知，t?2?(?2,2)2(2,14)，故(t2?2)2?[0,4)(4,196)，从而由③得：
|PQ||PR|?(t2?2)2?4?[4,8)(8,200)
4?2t?t2注1：利用C2的圆心到l的距离小于C2的半径，列出不等式||?22，
2同样可以求得②中t的范围.
注2：更简便的计算|PQ||PR|的方式是利用圆幂定理，事实上，C2的圆心为M(4,0)，半径为
r?22，故|PQ||PR|?|PM|2?r2?(t2?4)2?(2t)2?(22)2?t4?4t2?8.
y2?1，左右焦点分别为F1、F2，过点F2作一直线与双曲线C2016A 7、双曲线C的方程为x?32的右半支交于点P、Q，使得?F1PQ?900，则?F1PQ的内切圆半径是 ◆答案：7?1
★解析：由双曲线的性质知，F1F2?2?1?3?4，PF1?PF2?QF1?QF2?2．
222因?F1PQ=90°，故PF1?PF2?F1F2，因此
PF1?PF2?2(PF12?PF22)?(PF1?PF2)2?2?42?22?27从而直角?F1PQ的内切圆
半径是r?111(F1P?PQ?F1Q)?(PF1?PF2)?(QF1?QF2)?7?1 222
2016A 11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，F是x轴正半轴上的一个动点。设F为焦点，O为顶点作抛物线C。设P是第一象限内抛物线C上的一点，Q是x轴负半轴上的一点，使得PQ为抛物线C的切线，且|PQ|?2，圆C1，C2均与直线PQ相切于点P，且均与x轴相切。求点F的坐标，使得圆C1与C2的面积之和取到最小值。
★解析：设抛物线C的方程是y2?2px(p?0)，点Q的坐标为(?a,0)(a?0)，并设C1,C2的圆心分别为O1(x1,y1),O2(x2,y2)．
设直线PQ的方程为x?my?a(m?0)，将其与C的方程联立，消去x可知y2?2pmy?2pa?0． 因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为??4p2m2?4?2pa?0，解得m?而可知，点P的坐标为(xP,yP)?(a,2pa)．于是
2a．进p|PQ|?1?m2|yP?0|?1?由｜PQ｜=2可得
2a?2pa?2a(p?2a)． p4a2?2pa?4 ①……………………5分
注意到OP与圆C1,C2相切于点P，所以OP?O1O2．设圆C1,C2与x轴分别相切于点M，N，则OO1,OO2分别是
?POM,?PON的平分线，故?O1OO2=90°．从而由射
影定理知
22y1y2?O1M?O2N?O1P?O2P?OP2?xP?yP?a2?2pa
结合①，就有y1y2?a?2pa?4?3a ②……………………10分 由O1,P,O2共线，可得
22y1?2pa2pa?y2?y1?yPOPOMy?1?1?1．
yP?y2PO2O2Ny2
化简得
y1?y2?22pay1y2 ③……………………15分
22令T?y1，则圆C1,C2的面积之和为?T．根据题意，仅需考虑T取到最小值的情况． ?y2根据②、③可知，
T?(y1?y2)2?2y1y2?422y1y2?2y1y2 2pa4(4?3a2)(2?a2)222?(4?3a)?2(4?3a)?． 4?4a21?a22作代换t?1?a，由于4t?4?4a2?2pa?0，所以t?0．于是
T?(3t?1)(t?1)11?3t??4?23t??4?23?4．
ttt31，此时a?1?t?1?，因此结合①得， 33上式等号成立当且仅当t?p1?a2??2at1?13?3t3?3?13?3
从而F的坐标为(
p1,0)?(,0)．………………………20分 23?3222016B 6、在平面直角坐标系xOy中，圆C1:x?y?a?0关于直线l对称的圆为
C2:x2?y2?2x?2ay?3?0,则直线l的方程为 ◆答案：2x?4y?5?0.
★解析：C1,C2的标准方程分别为C1:x2?y2?1,C2:?x?1???y?a??a2?2.
由于两圆关于直线l对称，所以它们的半径相等．因此a?a2?2?0,解得a?2.故C1,C2的圆心?1?分别是O1?0,0?,O2??1,2?.直线l就是线段O1O2的垂直平分线，它通过O1O2的中点M??,1?，由此可
?2?得直线l的方程是2x?4y?5?0.
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