电磁场与电磁波课后习题及答案--第四章习题解答

内容发布更新时间 : 2024/12/23 11:52:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

(0,d)。求板间的电位函数。

解 由于在(0,d)处有一与z轴平行的线电荷个区域,则这两个区域中的电位上,可利用?函数将线电荷ql,以x?0为界将场空间分割为x?0和x?0两

?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x?0的分界面

ql表示成电荷面密度?(y)?ql?(y?y0)。

电位的边界条件为

y ①

?1(x,0)=?1(x,a)?0

?2(x,0)=?2(x,a)?0

ql d??) a ②

1(x,y)?0(x?

ox题 4.6

?2(x,y)?0(x???)

?1(0,y)??2(0,y)

(??2ql?x???1?x)x?0????(y?d)0

由条件①和②,可设电位函数的通解为

??1(x,y)??A?n?xan?ynesin(n?1a) (x?0)

??n?y2(x,y)??B?xanensin(n?1a) (x?0)

由条件③,有

???An?yBn?ynsin()?nsin(n?1a?n?1a) ???An?n?y?n?nsin(n?1aa)??Bnn?1asin(n?yqa)?l??(y?d) 0 由式(1),可得

An?Bn (3)

sin(m?y将式(2)两边同乘以

a),并从0到a对y积分,有

1) (2)

( An?Bn?2qln??0?a0?(y?d)sin(2qln?yn?d)dy?sin()an??0a (4) n?d)a

由式(3)和(4)解得

An?Bn?

qln??0sin(?1(x,y)?故

1n?d?n?xan?ysin()esin()???0n?1naa (x?0) ql??q?l2(x,y)?1???nsin(n?dn?xan?ya)esin(a)0n?1 (x?0) 4.7 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零,槽中有一与槽平行的线电荷

ql。求槽内的电位函数。

解 由于在

(x0,y0)处有一与z轴平行的线电荷ql,以

x?x0为界将

场空间分割为

0?x?x0和x0?x?a两个区域,则这两个区(x0,y0)域中的电位?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x?x0的

分界面上,可利用?函数将线电荷ql表示成电荷面密度

?(y)?ql?(y?y0),电位的边界条件为

① ?1(0,y=),0?2(a,y)?0

② ?1(x,0)=?1(x,b)?0 ?2(x,0)=?2(x,b)?0

?1(x0,y)??2(x0,y )(??2?x???1?x)x?x0??ql??(y?y0)0

由条件①和②,可设电位函数的通解为

??1(x,y)??Ansin(n?yn?xn?1b)sinh(b) (0?x?x0)

y b ql o a x题4.7图

B?(x,y)??2n?1?nsin(n?yn?)sinh[(a?x)](x?x?a) bb 0由条件③,有

?n?x0n?yn?yn?Asin()sinh()?Bsin()sinh[(a?x0)]??nnbbbbn?1n?1 (1) ???Ann?1n?x0n?n?ysin()cosh()?bbb

qln?n?yn???(y?y0)Bnsin()cosh[(a?x0)]??0bbbn?1 (2)

?由式(1),可得

Ansinh(n?x0n?)?Bnsinh[(a?x0)]?0bb (3)

sin(将式(2)两边同乘以

m?y)b,并从0到b对y积分,有

2qln?x0n??Ancosh()?Bncosh[(a?x0)]n??0bb2qln?y0sin()n??0b (4)

由式(3)和(4)解得

?b0?(y?y0)sin(n?y)dy?b

An?

2qln?y01n?sinh[(a?x0)]sin()sinh(n?ab)n??0bb

Bn?2qln?x0n?y01sinh()sin()sinh(n?ab)n??0bb

?1(x,y)?故

1n?sinh[(a?x0)]???0n?1nsinh(n?ab)b 2ql??sin(n?y0n?xn?y)sinh()sin()bbb (0?x?x0)

?2(x,y)?n?x01sinh()???0n?1nsinh(n?ab)b 2ql??sin(若以

n?y0n?n?y)sinh[(a?x)]sin()bbb (x0?x?a)

y?y0为界将场空间分割为0?y?y0和y0?y?b两个区域,则可类似地得到

?1(x,y)??sin(1n?sinh[(b?y0)]???0n?1nsinh(n?ba)a 2ql?n?x0n?yn?x)sinh()sin()aaa (0?y?y0)

?2(x,y)??sin(n?y01sinh()???0n?1nsinh(n?ba)a 2ql?n?x0n?n?x)sinh[(b?y)]sin()aaa (y0?y?b)

4.8 如题4.8图所示,在均匀电场

E0?exE0中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱,圆柱

的半径为a。求导体圆柱外的电位?和电场E以及导体表面的感应电荷密度?。 解 在外电场电荷的电位

E0作用下,导体表面产生感应电荷,圆柱外的电位是外电场E0的电位?0与感应

?in的叠加。由于导体圆柱为无限长,所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中,

外电场的电位为荷的电位

?0(r,?)??E0x?C??E0rcos??C(常数C的值由参考点确定)

,而感应电

?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化,而且在无限远处为0。由于导体是等位体,

所以?(r,?)满足的边界条件为

y ?)?C ① ?(a,②

?(r,?)??Es?C0rco?r(??)

E0

a o x

?1?(r,?)??Ercos??Arcos??C 01由此可设

?1?Eacos??Aacos??C?C 01由条件①,有

题4.8图

2A?aE0 1于是得到

故圆柱外的电位为

?(r,?)?(?r?a2r?1)E0cos??C

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