内容发布更新时间 : 2025/7/17 0:06:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
求E(???)。
解：引入随机变量
解：据题意知，?,?的概率分布分别为
?i???1,第i个人戴对自己的帽子，i?1,2,?,n
?0,第i个人未戴对自己的帽子??1??2????n ，且
P{??i}?(1?p)i?1p，i?1,2,?； P{??j}?(1?p)j?1p，j?1,2,?。
显然，?P{?i?1}?所以，
11，P{?i?0}?1?， nnnnE(???)???ipij???jpijj?1i?jj?1i?j??
E(?)?E(?1??2????n)??E(?i)??1?P{?i?1}?0?P????2?j?1?i(1?p)i?j?2p??j??j(1?p)i?j?2p2
j?1ij?1i?1?jj?1??qj?1p2(q?q)??j?1?jqj?2p2q(1?q)1? j?11?q?2j?2???(jq(1?q)?q2j?1)?j?1(1?qj?1)p
j?1?jqj?1?3?2pp(2?p)。 12．袋中有r个红球与b个黑球，现从中任取n个球，求其中红球个数的数学期望。
解：以?表示任取n个球中红球个数，则
Ck?kP{??k}?rCnbCn，k?0,1,2,?,l?min(r,n)
r?bll??k}??kCkk则E(?)??kP{rCn?bCn
k?0k?0r?bl??r!Cn?kbk?1)!(r?k)!Cn
k?1(r?bl?r?Ck?1Cn?kbr?1k?1Cn?1r
r?b?1??bn?nrr?b 13．参加集会的n个人将他们的帽子混放在一起，会后每人任取一顶帽子戴上，以?表示他们中戴对自己帽子的人的个数，求
E(?)。
26
i?1i?1
14．设袋中有
2n个球，其中编号为
k的球各
Ckn个
（k?0,1,2,?,n）
，现不放回地从袋中任取m个（m?2n），求这些球上编号之和的数学期望。
解：令?i表示取出的第i个球上的编号，i?1,2,?,m，
由抽签与顺序无关，P{?k}?Ckni?2n,k?0,1,...n
n则E(?Cknni)??kk?02n?2
所以m个球之和的数学期望
mE(?1??2?...??m)??E?i?mni?12
15．袋中有r个红球与b个黑球，现任意一一取出，直至取到红球为止，求取球次数的数学期望。
解：令?表示直至取到红球为止所进行的取球次数，则
P{??k}?bb?1b?2b?krr?b?r?b?1?r?b?2???r?b?k?r?b?，k?1,2,?,b?1，
所以，
b?1E(?)??kP{??k}
k?1b?1??k(bb?1b?2b?krk?1r?b?r?b?1?r?b?2???r?b?k?r?b?
2?2?r?kk?1b?1b?1b!(r?b?k?2)!?
(b?k?1)!(r?b)!1k?111?2k?11?k?11E(?)??k?(1?)???kq??(?q)???nnnk?1nk?1nk?1
(r?1)!b!(r?b?k?2)!?r?k?
(r?b)!(b?k?1)!(r?1)!k?1r!b!b?1?1?k?Crr??b?k?2 (r?b)!k?1
1q2121??()???n???n??2n3?n3n1?qn(1?q)n?2n2?n，
所以，D(?)?E(?2)?(E(?))2?2n2?n?n2?n2?n。
?3.2 习题
r?b?1
r?12．若随机变量?服从拉普拉斯分布，其密