内容发布更新时间 : 2025/4/3 11:31:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
t ? 3z = 41
得 x = t ? 2u
y = u u?Z， t = 41 ? 3v
z = v v?Z，
消去t得 x = 41 ? 3v ? 2u
y = u
z = v u，v?Z。
由此得原方程的全部正整数解为
(x, y, z) = (41 ? 3v ? 2u, u, v)，u > 0，v > 0，41 ? 3v ? 2u > 0。
2、有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？
解：设士兵有x人，由题意得x ? 1 (mod 3)，x ? ?2 (mod 5)，x ? 3 (mod 11)。
在孙子定理中，取 m1 = 3， m2 = 5， m3 = 11，m = 3?5?11 = 165，
M1 = 55，M2 = 33，M3 = 15， M1? = 1，M2? = 2，M3? = 3，
则 x ? 1?55?1 ? （-2）?33?2 ? 3?15?3 ? 58 (mod 165)， 因此所求的整数x = 52 + 165t，t?Z。
由于这队士兵不超过170人，所以这队士兵有58人。
23、判断同余方程x?286(mod443)是否有解?
解：286=2×143，433是质数，(143，443)=1
奇数143不是质数，但可用判定雅可比符号计算的勒让德符号
?286??2??143?????????(?1)?443??243??443?
4432?12?(?1)143?1443?1?22?443??14??2??7????????????143??143??143??143??(?1)143?18?(?1)7?1143?1?223??1??143??????????1 ∴原方程有解。 ??
?7??3??7?四、证明题
1、设(a, m) = 1，d0是使a d ? 1 (mod m)成立的最小正整数，则
(ⅰ) d0??(m)；
j
(ⅱ)对于任意的i，j，0 ? i, j ? d0 ? 1，i ? j，有a i??a (mod m)。 （1）
证明：(ⅰ) 由Euler定理，d0 ? ?(m)，因此，由带余数除法，有
?(m) = qd0 ? r，q?Z，q > 0，0 ? r < d0。
因此，由上式及d0的定义，利用欧拉定理得到
qd?r1 ?a?(m)?a0?ar(mod m)，
即整数r满足 a r ? 1 (mod m)，0 ? r < d0 。 由d0的定义可知必是r = 0，即d0??(m)。
(ⅱ) 若式(1)不成立，则存在i，j，0 ? i, j ? d0 ? 1，i ? j，使a i ? a j (mod
m)。
不妨设i > j。因为(a, m) = 1，所以 ai ? j ? 0 (mod m)，0 < i ? j < d0。 这与d0的定义矛盾，所以式(1)必成立。
2、证明：设a，b，c，m是正整数，m > 1，(b, m) = 1，并且
b a ? 1 (mod m)，b c ? 1 (mod m) （1）
记d = (a, c)，则bd ? 1 (mod m)。
证明：由裴蜀恒等式知，存在整数x，y，使得ax ? cy = d，显然xy < 0。