初等数论试卷

内容发布更新时间 : 2025/4/3 11:31:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

t ? 3z = 41

得 x = t ? 2u

y = u u?Z, t = 41 ? 3v

z = v v?Z,

消去t得 x = 41 ? 3v ? 2u

y = u

z = v u,v?Z。

由此得原方程的全部正整数解为

(x, y, z) = (41 ? 3v ? 2u, u, v),u > 0,v > 0,41 ? 3v ? 2u > 0。

2、有一队士兵,若三人一组,则余1人;若五人一组,则缺2人;若十一人一组,则余3人。已知这队士兵不超过170人,问这队士兵有几人?

解:设士兵有x人,由题意得x ? 1 (mod 3),x ? ?2 (mod 5),x ? 3 (mod 11)。

在孙子定理中,取 m1 = 3, m2 = 5, m3 = 11,m = 3?5?11 = 165,

M1 = 55,M2 = 33,M3 = 15, M1? = 1,M2? = 2,M3? = 3,

则 x ? 1?55?1 ? (-2)?33?2 ? 3?15?3 ? 58 (mod 165), 因此所求的整数x = 52 + 165t,t?Z。

由于这队士兵不超过170人,所以这队士兵有58人。

23、判断同余方程x?286(mod443)是否有解?

解:286=2×143,433是质数,(143,443)=1

奇数143不是质数,但可用判定雅可比符号计算的勒让德符号

?286??2??143?????????(?1)?443??243??443?

4432?12?(?1)143?1443?1?22?443??14??2??7????????????143??143??143??143??(?1)143?18?(?1)7?1143?1?223??1??143??????????1 ∴原方程有解。 ??

?7??3??7?四、证明题

1、设(a, m) = 1,d0是使a d ? 1 (mod m)成立的最小正整数,则

(ⅰ) d0??(m);

j

(ⅱ)对于任意的i,j,0 ? i, j ? d0 ? 1,i ? j,有a i??a (mod m)。 (1)

证明:(ⅰ) 由Euler定理,d0 ? ?(m),因此,由带余数除法,有

?(m) = qd0 ? r,q?Z,q > 0,0 ? r < d0。

因此,由上式及d0的定义,利用欧拉定理得到

qd?r1 ?a?(m)?a0?ar(mod m),

即整数r满足 a r ? 1 (mod m),0 ? r < d0 。 由d0的定义可知必是r = 0,即d0??(m)。

(ⅱ) 若式(1)不成立,则存在i,j,0 ? i, j ? d0 ? 1,i ? j,使a i ? a j (mod

m)。

不妨设i > j。因为(a, m) = 1,所以 ai ? j ? 0 (mod m),0 < i ? j < d0。 这与d0的定义矛盾,所以式(1)必成立。

2、证明:设a,b,c,m是正整数,m > 1,(b, m) = 1,并且

b a ? 1 (mod m),b c ? 1 (mod m) (1)

记d = (a, c),则bd ? 1 (mod m)。

证明:由裴蜀恒等式知,存在整数x,y,使得ax ? cy = d,显然xy < 0。

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