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第四部分向量组的线性相关性作业
第四部分 向量组的线性相关性作业
（一）填空题(20分)
1．设?1??2,?1,0,5?,?2???4,?2,3,0?,?3???1,0,1,k?,?4???1,0,2,1?,则k? 时，?1,?2,?3,?4线性相关。
2．设?1??2,?1,3,0?,?2??1,2,0,?2?,?3??0,?5,3,4?,?4???1,3,t,0?,则t? 时，?1,?2,?3,?4线性无关。
3．已知向量组?1??1,2,3,4?,?2??2,3,4,5?,?3??3,4,5,6?,?4??4,5,6,7?，则该向量组的秩是 。 4．n维单位向量组e1,e2,,en均可由向量组?1,?2,,?s线性表出，则向量个数 。
?1??15．已知A??0??0?0?0100??1000?1100?，则秩R?A?? 。
?0110?1011???6．设三元线性方程组AX?b,R?A??2有三个特解?1,?2,?3,且?1??2??3??1,1,1?，
?3??2??1,0,0?，则AX?b的通解为 。
?1???7．设???2?,???1,2,3?,A???,则R?A?? 。
?3???8．向量组?1??1,2,3,4?,?2??2,3,4,5?,?3??3,4,5,6?,?4??4,5,6,7?的一个最大无关组是 。
9．若R??1,?2,?3,?4??4，则向量组?1,?2,?3线性 。 10．设方程组???a11x1?a12x2?a13x3?a14x4?0?的基础解系是?b11,b12,b13,b14?及
?a21x1?a22x2?a23x3?a24x4?0??b21,b22,b23,b24??b11x1?b12x2?b13x3?b14x4?0，则方程组?的基础解系是 。
bx?bx?bx?bx?0?211222233244（二）选择题(15分)
1．已知?1,?2,?3是齐次线性方程组AX?0的基础解系，那么基础解系还可以是（ ）
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第四部分向量组的线性相关性作业
(A) k1?1?k2?2?k3?3 (B) ?1??2,?2??3,?3??1 (C) ?1??2,?2??3,?3??1 (D) ?1,?1??2??3,?3??2
2．设矩阵Am?n的秩R?A??m?n，P为可逆矩阵，下列结论中正确的是（ ） (A) A的任意m个列向量线性无关 (B) A的任意m阶子式不等于零 (C) R?PA??R?A? (D) 存在m?1个列向量线性无关 3．已知n维向量组A:?1,?2,,?s与n维向量组B:?1,?2,,?t有相同的秩r，则下列说
法错误的是（ ）
(A) 如果A?B,则A与B等价
(B) 当s?t时，A与B等价
(C) 当A可由B线性表出时，A与B等价 (D) 当R??1,?2,4．设矩阵A?aij,?s,?1,?2,n?n,?t??r时，A与B等价
??，且|A|?0,A中元素aij的代数余子式Aij?0，则齐次线性方程组
AX?0的每一个基础解系中含有（ ）个线性无关的解向量。 (A) 1 (B) i (C) j (D) n
5．已知n维向量组A:?1,?2,,?s与n维向量组B:?1,?2,,?s,?s?1,?s?2,,?s?l，若
R?A??p,R?B??q，则下列条件中不能判定A是B的最大无关组的是（ ）
(A) p?q，且B可由A线性表出 (B) s?q，且A与B是等价向量组 (C) p?q，且A线性无关 (D) p?q?s （三）综合题（65分）
1．已知?1?2?2?3?3?4??0,其中?1??5,?8,?1,2?,?2??2,?1,4,?3?, （5分） ?3???3,2,?5,4?,求?。
?2?1?11?11?212．设矩阵A???4?62?2??36?97第 2 页 共 4 页
2??4?，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并将其余?4?9?第四部分向量组的线性相关性作业
向量用最大无关组线性表示出来。（10分） 3．设a1,a2,证明a1,a2,,an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1,e2,,an线性无关。（10分）
,en能由它们线性表示,
?1,?2,?3；4．已知三维向量空间R3的一个基：?1?2?1?3?2?3?3,??2?1??2?2?3,
2?3??1?5?2?3?3（15分）
（1）证明?1,?2,?3也是R3的一个基；
（2）求由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵；
（3）若向量?在基?1,?2,?3下的坐标为(1,?2,0)，求?在基?1,?2,?3下的坐标。 5．设A为m?n矩阵，证明存在n?s非零矩阵B，使AB?0的充分必要条件是R?A??n。（10分）
?(2??1)x1??x2?(??1)x3???1?6．?取何值时，线性方程组?(??2)x1?(??1)x2?(??2)x3??有唯一解，无解，无穷
?(2??1)x?(??1)x?(2??1)x??123?多解？且在有无穷多解时求其通解。（15分）
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