内容发布更新时间 : 2024/5/18 10:36:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

实验三 单自由度系统自由衰减振动的测定试验

一、

实验目的

1、深刻理解单自由度系统衰减振动的基本规律。

2、掌握应用计算机软件跟踪和记录单自由度系统自由衰减振动波形，并打印其波形。 3、根据衰减振动波形图确定系统的固有频率和阻尼比及振幅减缩率。

二、基本原理

质量为m、阻尼系数为c、弹性系数为k的单自由度系统自由衰减振动时，其运动微分

方程为

??c x??kx?0 x m?可改写为

2??2n x???n ?xx?0 （3-1）

式中：?n——系统固有频率； ?——阻尼比 且

?n???n?kmn （3-2）

?nc2m （3-3）

小阻尼（?＜1）时，微分方程（3-1）式的解可写为

x?Ae?ntsin(?st??) (3-4)

式中：A、?——由初始条件确定的积分常数；

?s——自由衰减振动的园频率。

2?s??n?n2??n1??2 （3-5）

设初始时刻T = 0时，初始位移x?x0，初始速度为v0，则

A?2x0?(v0?nx0)2?s2x0?s2 （3-6）

??arctg(v0?nx0) （3-7）

Ae?nt称为自由衰减振动的振幅，（3-4）式所表示的振动的振幅随时间不断衰减。其图

形见图3-2所示。由其图形变化特点知，这种振动不符合周期振动的定义。所以不是周期振

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动。但振动仍然是围绕平衡位置的往复运动，仍具有振动的特点。 1．振动周期Td大于无阻尼自由振动周期T。

Td=

2??S?2?2?n?n2?2??n1??2?T1??2 （3-8）

式中：T为不计阻尼时自由振动周期。且T?2?/?n。 2．振幅按几何级数衰减。

任意两个相邻振幅之比，称为振幅减缩率

??AiAi?1?Ae?ntiAe?n(ti?Td)?enTd （3-9）

对上式取对数，得对数减缩率

??lnAiAi?1?nTd （3-10）

手锤 质量块 传感器 实 验 台 测振仪 计算机示波

图3-1 单自由度系统自由衰减振动实验仪器安装框图

根据试验所得的衰减振动曲线[见图3-2（b）所示]，量得相邻的两个位移最大值及周期Td。由（3-9）式可求得振幅减缩率。若阻尼较小，或系统的固有频率较大，则相邻两位移最大值相差不大，为了减小测量误差。一般取同侧相隔j个周期的两个振幅值之比值来计算?或?，这时

所以

AiAi?j?ejnTd

??jln??AiAi?j （3-11）

AiAi?j16

（3-12）

因而得

n?1jTdlnAiAi?j （3-13）

c?2nm1?1jmTdlnlnAiAi?j （3-14）

??AiAi?jj?nTd （3-15）

由于阻尼作负功，系统的能量不断消耗，使振幅迅速衰减。当系统运动至Ai与Ai?1极端位置时，其动能为零，于是其机械能就是势能，分别为

Ei?12kAi2 Ei?1?12kA 2i?1

每振动一次机械能之比为

EiEi?1?e2? （3-16）

x A2 m 0

x0 A1 t k c

x

T1 ( a ) ( b )

图3-2 单自由度系统自由衰减振动力学模型和衰减振动曲线

每振动一次机械能的损失与原有机械能之比，即能耗率可表示为

??将（3-16）代入上式，得

?EiEi?1?Ei?1Ei （3-17）

??1?e?2?

展开为台劳级数

??2??当?为微小值时，则上式可近似为

4?22?8?32?3???

???EiEi≈2? （3-18）

故每振动一次损失的机械能与原有机械能的比值为常量。且近似等于对数减缩率的二倍。因而，对数减缩率不但反映振幅衰减的快慢程度，也反映了振动系统机械能消耗的快慢程度。是反映阻尼特性的一个参数。

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