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《数理方程》考试大纲 科目代码：2003

基本内容与要求：

《数理方程》是理工科方向应用数学理论解决工程问题的基础，也是数学理论应用的数学模型。要求考生比较系统地理解数学物理方程的基本概念和基本理论，掌握基本方法。

考试的主要内容为偏微分方程基本概念、三类典型方程的导出、偏微分方程的定解问题及其适定性研究、解的叠加原理等。同时要求考生了解偏微分方程研究的现代基本理论（广义函数理论、Sobolev空间理论等），理解和掌握其在椭圆、双曲、抛物型方程研究中的应用，包括应用这些理论研究定解问题的古典解、弱解的适定性以及正则性的方法。 主要内容

（一）、 偏微分方程的一般理论

1. 理解和掌握偏微分方程的基本概念、特征与分类； 2. 掌握Fourier变换及广义函数的概念和基本性质；

3. 理解和掌握偏微分方程古典解，广义解以及定解问题的适定性等概念； 4. 理解和掌握三类典型线性偏微分方程（波动方程、热传导方程、位势方程）的导出。

（二）、波动方程

1. 理解和掌握一维波动方程的特征线法及初值问题解的D’Alembert公式，了解其物理意义;

2. 理解和掌握三维波动方程的球平均法及初值问题解的Kirchhoff公式，了解其物理意义;

3. 理解和掌握二维波动方程的初值问题和降维法及初值问题解的Poisson公式; 4. 掌握解的线性叠加原理及Fourier变换方法求解波方程初值问题； 5. 掌握波动方程初边值问题的分离变量法；

6. 理解和掌握依赖区域、决定区域、影响区域、特征维以及波的惠更斯（Huyge）原理等概念。 （三）、热传导方程

1. 理解和掌握Fourier变换求解热传导方程及初值问题解的Poisson公式，理解热传导方程基本解的概念；

2. 掌握一维热传导方程初边值问题的分离变量法；

3. 理解和掌握一维热传导方程的极值原理，能够应用极值原理来证明定解问题解的唯一性和稳定性

4. 理解和掌握热传导方程的最大模估计和能量模估计（能量方法），以及用能量方法讨论初边值问题解的唯一性和稳定性。 （四）、位势方程

1. 掌握Poisson方程边值问题的分类;

2. 掌握调和函数的基本性质，如中值公式、极值原理等；

3. 理解和掌握位势方程的极值原理，能够应用极值原理来证明定解问题解的唯一性和稳定性；

4. 理解和掌握位势方程的最大模估计和能量模估计（能量方法），以及用能量方法讨论初边值问题解的唯一性和稳定性。

5. 理解Sobolev空间的基本概念和性质，掌握变分问题的解的存在唯一性。 （五）、二阶偏微分方程的分类和总结

1. 理解和掌握二阶偏微分方程的分类（椭圆、抛物、双曲）及其基本性质； 2. 理解和掌握基于泛函分析、Sobolev空间理论的能量方法，以及极值原理，在三类方程中弱解的存在性、唯一性、正则性的应用。