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2001-2012年天津市中考数学试题分类解析汇编（12专题）

专题12：押轴题

9. （天津市2009年3分）如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2?b2?52．①a，b的值可以是 ▲ （写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性： _____________________

【答案】①3、4。

②裁剪线如图所示（红线）：图中的点E是以AB为直径的半圆上的任

意一点（点A、B除外），连接BE并延长交DA于点F；过点C作CG⊥BF，垂足为点G；过点F作FH∥AB，交BC于点H；过点H作HI⊥CG，垂足为点I。则裁剪线为BF、AE、CG、HI。其中AE和BE即为两个小正方形的边长。

DCIFbAEaGBbH由于点E是以AB为直径的半圆上的任意一点（点A、B除外），从而

该裁剪方法具有一般性。

【考点】正方形的性质和判定，勾股定理的应用，圆周角定理，平行和垂直的性质 【分析】①使得a2?b2?52．由直角三角形勾股定理的很容易联想到a，b的值是3、4。

②∵点E是以AB为直径的半圆上的任意一点（点A、B除外）， ∴∠AEB=900。∴AE2＋BE2=AB2，即a2?b2?52。 其余证明略。拼接方法如图所示：红字母即为拼接的位置：

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(E)(A)DC(B)(C)(H)EGAB(A)I(F)H(E)(I)F

10. （天津市2010年3分）有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：

第一步：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点B、D重合，点C落在点C′处，得折

痕EF；

第二步：如图②，将五边形AEFC′D折叠，使AE、C′F重合，得折痕DG，再打开； 第三步：如图③，进一步折叠，使AE、C′F均落在DG上，点A、C′落在点A′处，点

E、F落

在点E′处，得折痕MN、QP.

这样，就可以折出一个五边形DMNPQ.

（Ⅰ）请写出图①中一组相等的线段 ▲ （写出一组即可）；

AD?b，（Ⅱ）若这样折出的五边形DMNPQ（如图③）恰好是一个正五边形，当AB?a，

DM?m

时，有下列结论：

①a2?b2?2abtan18?； ②m?a2?b2?tan18?； 3③b?m?atan18?； ④b?m?mtan18?.

2其中，正确结论的序号是 ▲ （把你认为正确结论的序号都填上）. ．

【答案】（Ⅰ）AD=C′D (答案不惟一，也可以是AE=C′F等)；（Ⅱ）①②③。

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【考点】矩形的性质，折叠的性质，

【分析】（Ⅰ）根据矩形和折叠的性质，直接得出结果。

（Ⅱ）①∵将矩形纸片ABCD折叠，使点B、D重合，∴DE=BE。

设AE=x，则由AB?a得BE= DE=a?x。

在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2+AD2=DE2，则由AE=x，AD?b，

DE=a?x得

2x2?b2=?a?x?，展开得，a2?b2?2ax。

又∵在正五边形中（如图③），∠C'DA=108°，则∠ADE=108°－90°=18°。 tan18?。 ∴在Rt△ADE中，AE=AD·tan∠ADE，即x?b·∴a2?b2?2abtan18?。所以①正确。

②如图，连接GB，NB。由矩形和折叠的性质知点D、G、B

共线；点M、N、B共线，且∠NGB=900。

由题意知：正五边形边长DM?m，则NG=

GB=DB?1∠GBN=18°，m，21212a?b2。 2∴在Rt△GBN中，tan?GBN?NG， GB即tan180?12a?b221m2?m?a2?b2?tan18?。所以②正确。

③由题意知：∠NBA=18°，AB?a，MA=b?m， ∴在Rt△ABM中，tan?NBA?即tan180?MA， ABb?m?b?m?atan18?。所以③正确。 a④如图，过点N作NH∥BD，交MQ于点H。

则∠MNH=∠GBN=18°，MN=DM?m，MA′= MA=b?m，

HA′= NG=

311m，即MH= MA′－HA′=b?m－m=b?m。

222MH∴在Rt△MNH中，sin?MNH?，

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